Étiquette : mathématiques

Un point sur le i

Il n'existe pas de nombre dont le carré soit négatif : la multiplication d’un nombre par lui-même donne toujours un nombre positif. C’est pourquoi on ne peut pas définir la racine carrée d’un nombre négatif, du moins avec les nombres existants. Cela vous embête ? Cela vous donne un sentiment d’inachevé ? Qu’à cela ne tienne : nous n’hésiterons pas, afin de rendre notre théorie des nombres plus esthétique, à postuler l’existence d’une racine carrée de -1. Appelons-la i... (Lire l'article)

Ce titre était vraiment trop long, il a fallu cou

Traduire les mathématiques : l'exercice est-il, si ce n'est passionnant, du moins pertinent ? Le théorème de Fermat ne peut-il être compris par n’importe quel mathématicien sur cette planète ? La mathématique serait-elle donc la langue d’avant Babel ? Mais, dans ce cas, de quoi nous parle-t-elle si ce n’est d’elle-même ? Les mathématiques sont-elles, comme certains le pensent de la musique, un langage qui est son propre signifié ? Et cette réflexivité est-elle liée à l’universalité perçue de l’une comme de l’autre ? (Lire l'article)

L’hypoténuse est inéluctable

Le carré de l’hypoténuse / Est égal, si je ne m’abuse / À la somme des carrés / Des deux autres côtés... Certes, mais pourquoi est-ce pour ça et pas autrement ? En fait, cela n’a rien d’évident. On peut prouver le théorème de Pythagore, bien sûr, et de multiples manières. Mais démontrer un théorème, est-ce en soi suffisant pour comprendre pourquoi ça doit être comme ça et pas autrement ? Comprendre, c’est sentir de manière organique, charnelle, pourquoi les règles du jeu que nous avons inventées rendent inévitable le résultat. (Lire l'article)

À la planche !

Cinq affreux pirates ont décidé de se partager le butin de leurs rapines, soit 1000 doublons. N’ayant aucune confiance les uns dans les autres, ils décident d’invoquer de concert le fantôme du célèbre et terrifiant Barbe-Noire, leur maître incontesté quoique défunt, dont même le plus épouvantable d’entre eux ne saurait braver les édits, et qui sera donc l’arbitre et le garant de la transaction. Ce dernier leur livre une énigme... (Lire l'énigme)

Alors, on sèche ?

Si l’une ou l’autre des petites énigmes posées il y a deux semaines vous ont laissée perplexe, vous trouverez ici de quoi vous rasséréner ; et si vous avez tout bon, vous y trouverez de quoi vous en féliciter et même, pourquoi pas, la motivation d'inventer d’autres énigmes sur le même thème. Pour résoudre ce type d’énigme, le plus simple (sinon le plus élégant) est... de lire cet article.

Énigmes d’été

Les vacances d’été sont enfin là, et vous vous prépariez à partir les passer tranquillement au soleil entre plage et terrasse, mais patatras : votre vol low cost est annulé au dernier moment. Bien entendu tous les autres vols sont pleins, votre hôtel réservé six mois à l’avance ne veut rien savoir pour rembourser vos arrhes, vos destinations touristiques favorites sont archi-complètes, vos possibilités de repli sont maigres et votre moral au plus bas. C’est alors que vous découvrez... (Lire l'article)

Au rythme des algos

Assurer sa sécurité informatique, c’est bien beau ; mais ce n’est pas cela qui vous préservera du marketing personnalisé intrusif, des bannières intempestives sur Internet ou du spam embarrassant dans votre boîte aux lettres – sans même parler, sauf pour les plus paranos d’entre nous, d’écoutes de la NSA. De tous les secrets, notre vie privée est le plus précieux ; c’est malheureusement également le plus difficile à préserver. D’une part parce que l’essentiel de nos interactions sur Internet ont précisément pour but, explicite ou non, de nous le faire révéler ; d’autre part, parce que les méthodes utilisées pour cela sont d’une diabolique ingéniosité. (Lire l'article)

Sans décoder ?

En ces temps joyeux de hacking présidentiel et de logiciels rançonneurs, il n’est pas sans intérêt de se demander ce que peuvent apporter les maths en termes de sécurité informatique. La réponse est : beaucoup. Au-delà de la complexité assez affolante des algorithmes en jeu, il existe quelques principes de bon sens peu connus et pourtant fort éclairants, qui si nous les appliquions tous pourraient nous aider à gagner un peu de confiance en ces systèmes dont nous dépendons tellement et dont nous ignorons trop. (Lire l'article)

Redresseur de torts ?

Comment savoir a priori qu’un échantillon est représentatif ? Et d‘ailleurs, que recouvre cette notion ? Nous savons tous ce qu’en est l’opposé, à savoir un échantillon biaisé. Si vous faites un sondage d'opinion sur l’adoption homoparentale à la sortie de la messe de Saint-Nicolas-du-Chardonnet, une étude épidémiologique sur le tabac dans la file d’attente du buraliste de la Place de Clichy ou une enquête de popularité pour Mélenchon dans les tribunes de l’hippodrome de Saint-Cloud, il y a fort à parier que vous obtiendrez des chiffres pour le moins faisandés... (Lire l'article)

Un arbre solitaire

De quoi parle donc la topologie ? De propriétés des formes, des espaces et des structures qui s’affranchissent de la géométrie, de la mesure, du quantitatif ; de ce qui se conserve quand vous pouvez infiniment déformer un objet, sans pourtant jamais le percer ni le recoller ; de ce qu’il y a de commun entre un réseau routier, un réseau social, un ensemble de nombres, une figure dessinée sur le plan ; elle parle d’univers où les trous de ver existent, de fourmis vivant sur un pneu, de transformations de l’espace laissant au moins un point fixe. Illustration par le dernier jouet à la mode : la Topotty, une pâte à modeler révolutionnaire. (Lire l'article)

Kether et Calabi-Yau

Il est facile à l’esprit fort de se moquer sans merci des amateurs d’horoscope, de voyance, de martingales et de numérologie. On ne s’en prive pas toujours dans ces lignes, et il ne faut certes pas bouder son plaisir, mais évitons tout de même d’y céder au point de passer à côté de quelques aspects très profonds et respectables de la nature humaine qui se cachent derrière ces pratiques, et auxquels le scientifique n’échappe absolument pas plus qu’un autre (par ailleurs, un économiste du FMI qui se moque d’un astrologue, c’est à mon sens l’Hôpital Robert Debré qui se moque de la bande Velpeau – mais ceci est un autre sujet). Et tout d'abord, où est le mal à chercher une explication simple et lisible au monde brouillon, imprévisible, encombré et globalement plutôt mal fichu qui nous entoure et dirige nos vies ? (Lirel'article)

E pur si muove !

Il est difficile d’aborder les rapports entre maths et religion sans mentionner la célèbre mais finalement assez mal connue controverse de Galilée. Cette histoire éclaire en effet une dialectique profonde et toujours d’actualité entre vérité et modèle. Que l’Église fût effrayée de la révolution conceptuelle introduite par l’idée que la Terre ne soit pas le centre du Monde, on peut bien le penser, mais ce n'est pas réellement là où Galilée avait un problème. Ce qui fut reproché à Galilée, ce ne sont pas seulement les observations ou les moyens de calcul qu’il apportait en soutien de son modèle : c’est d’avoir, au-delà du modèle, présenté un système du monde, une ontologie, une réalité. (Lire l'article)

Transcendance

Les maths entretiennent un rapport de toujours avec le transcendant – plus qu’avec le divin en soi, avec lequel il ne se confond pas. Il ne semble pas, en effet, que la philosophie aristotélicienne du Nombre ait beaucoup fait intervenir les dieux de l’Olympe, lesquels pour leur part ne sont guère férus de mathématiques, occupés qu’ils sont à leurs guerres et amours bien humaines. Ces dieux-là héritent de notre finitude, de notre médiocrité même, et c’est pourquoi ils ne posent guère de questions auxquelles nous ne puissions répondre sans maths. (Lire l'article)

Farewell, California !

Les indépendantistes californiens soulignent que leur État représente la sixième puissance économique mondiale. Dans la même veine ourquoi ne pas considérer d’autres entités géographiques ? La ville de Tokyo exhibe un PIB (en 2014) de 1,6 trillons de dollars. Si elle ne menace pas le classement de la Californie, cela la place tout de même au dixième rang mondial,  juste avant le Canada. Assez loin derrière, Paris dépasse tout de même la Suisse et talonne la Turquie, ce qui la mettrait en vingtième position des économies mondiales... ( Lire l'article)

La fin d’un monde

Se tient à Paris en 1900 le deuxième congrès international des mathématiciens. L’Allemand David Hilbert, chef de file incontesté de l’approche axiomatique, y fait sensation en présentant une liste de vingt-trois problèmes ouverts dont la résolution, selon lui, marquera le XXe siècle naissant. À ce jour, onze ont été résolus. Le premier, appelé hypothèse du continu, ne le sera jamais. Une demi-douzaine d’autres sont considérés comme presque résolus. Cinq d‘entre eux résistent encore. (Lire l'article)

Je t’aime, moi non plus

La philosophie et les maths – en premier lieu la logique, mais pas seulement – entretiennent depuis l’antiquité des rapports passionnels aigres-doux, forgés d’amour vache, d’attentes mutuelles souvent excessives et donc insatisfaites, et de communication plus ou moins efficiente. Le temps où le nombre, seule essence réellement immuable et divine, s’érigeait en système du monde est révolu. Un divorce donc ? Peut-être, mais il faut bien garder les enfants, dont il est pléthore. (Lire l'article)

Le libre arbitre imposé et autres paradoxes

Impossible de parler de logique sans consacrer une chronique à l’un des esprits les plus fins, les plus iconoclastes, les plus inventifs et drôles du vingtième siècle : Raymond Smullyan. Logicien, pianiste, adepte du Tao, magicien, grand vulgarisateur, il a inventé quelques perles de magie logique. Notamment Le Livre qui rend fou avec ses énigmes d'une implacable rigueur qui, conformément à son titre, peut  conduire aux confins de la folie, sans pour autant prendre les lecteurs de haut.  (Lire l'article)

Alternatives logiques

Un bon nombre de règles semblent évidentes au-delà de tout doute raisonnable. Par exemple le fait qu’une affirmation ne peut pas être vraie et fausse en même temps. Certaines formes de logique regardent pourtant avec suspicion la fameuse preuve par l’absurde : pour prouver une propriété, je suppose sa négation, et j’en déduis une contradiction. Ma propriété, qui doit être vraie ou fausse, ne peut ainsi pas être fausse et elle est donc nécessairement vraie. Raisonnement inattaquable ? Oui, pour la majorité des mathématiciens ; mais il existe une forme de logique, dite intuitionniste, qui se refuse à un tel raisonnement. (Lire l'article)

On aura ta peau, Socrate !

Socrate est humain. Tous les humains sont mortels. Donc Socrate est mortel. Logique? Non, bon sens n'est pas logique.  L’évidence n’est pas plus une preuve en logique qu’elle n’en est une en droit ; il nous faut une règle. Voire plusieurs. Dans le cas de Socrate, on pourra faire appel à la règle d'élimination du quantificateur universel et au modus ponens avant de conclure que Socrate est mortel et qu’il peut donc en toute légalité prendre sa ciguë comme l’en ont aimablement prié les autorités. Tout ça pour ça me direz-vous. Sans doute. Mais ce formalisme, ce rigorisme, ce sens du détail, sont tout ce qui sépare les maths d’un vague agrégat de croyances et de raisonnements approximatifs. (Lire l'article)

Propositions délicates

Si vous êtes propriétaire d’une chaîne de magasins et que je vous demande combien vous possédez de boutiques à Paris et à Lyon, il y a bien des chances que vous me donniez le nombre global des boutiques que vous avez dans ces deux villes. Le logicien, lui, et dans certains cas la base de données informatique, vous répondra zéro sans la moindre hésitation. En effet un magasin peut être situé à Paris ou à Lyon, mais jamais les deux à la fois ; vous n’en avez donc aucun qui soit dans ces deux villes. Voici une première brèche au sens commun, et ce ne sera pas la seule... (Lire l'article)

Logos

Comment reconnaît-on un logicien ? C’est celui qui, quand on lui demande s’il prendra du fromage ou un dessert, répond oui. C’est aussi celui qui croit fermement – non, qui sait en toute certitude – que s’il gelait en enfer les poules auraient des dents. Car le logicien, ironiquement, parle une langue bien différente de la nôtre (et qu’il considère souvent comme seule langue des dieux), alors même que sa science a pour objet la description du monde et le raisonnement sur le monde par le langage, la parole : le logos. (Lire l'article)

Le Chat du Swaziland

À 22 heures d’avion de Paris, via Istanbul et Johannesburg, se trouve un petit royaume méconnu d’Afrique Australe, dont les un million deux-cent mille habitants – les Swazis – occupent un territoire grand comme deux fois la Corse, gouverné par un roi coutumier aux nombreuses femmes et aux multiples palais. Votre serviteur a eu la chance d’y passer quelques jours à initier des enfants des écoles et collèges locaux à la programmation informatique. Que faisions-nous là-bas ? Nous faisions bouger un chat... (Lire l'article)

J’en suis tout retourné

Solution de la petite énigme posée la semaine dernière... Rappelons les faits : j’ai préparé un jeu de 52 cartes dont j’ai retourné un certain nombre face visible, avant de vous laisser mélanger le paquet. Après m’être bandé les yeux, j’ai alors pris une partie de ce paquet, je vous ai laissé compter – sans me le dire – le nombre de cartes face visible qu'il vous restait, je l’ai lu dans vos pensées, je vous ai tourné le dos et grâce à mes pouvoirs psychiques j’ai moi-même retourné dans mon paquet ce qu’il fallait de cartes pour avoir exactement le même nombre de cartes face visibles que vous. Comment ai-je fait ? (Lire l'article)

Les mathémagies de Martin Gardner

Vulgarisateur de génie, magicien, grand ennemi des charlatans, Martin Gardner était un explorateur passionné et passionnant du territoire mathématique. La preuve par trois de ses casse-têtes, l'hexaflexagone (qui rappelle les cocottes en papier de notre enfance), le jeu de la vie (à partir d'une grille et de pions qui prolifèrent ou disparaissent selon leur position), et un tour de cartes dont nous vous fournirons la solution la semaine prochaine. Qui a dit que les mathématiques n'étaient pas amusantes ? 
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J’ai eu les jetons !

Juste après avoir publié ma précédente chronique, je me suis précipité sur Internet pour vérifier si ma solution à l’énigme des cinq cartes tenait la route ou si j’avais négligé un détail. J’y ai découvert quelques faits intéressants. Tout d'abord la confirmation que cette solution fonctionne. Je n’ai pas trompé mes lecteurs, ouf ! Une autre observation faite à la lecture des forums spécialisés est qu'on y trouve beaucoup de solutions tentantes mais fausses, parfois de manière subtile, et qu'on observe une corrélation notable entre l'arrogance du commentateur et la qualité “presque juste mais pas tout-à-fait” de sa solution. (Lire l'article)

Entretien d’embauche

Un aspect de la culture geek d’Internet que l’on peut juger amusant ou effrayant est la manière dont ses membres se cooptent. S’il est un domaine où la sélection par les maths est reine, c’est celui-là. Google (comme d’autres) utilise régulièrement des techniques de recrutement du type jeu de piste : une énigme est posée à la communauté internet, et les quelques petits génies qui la résoudront en premier se verront envoyer un lien secret leur offrant la possibilité d’en résoudre d’autres, puis d’être recrutés. Voici une très jolie énigme posée régulièrement, paraît-il, en entretien d’embauche. (Lire l'article)

Vers l’infini et au delà

Bienvenue dans l'ensemble de Mandelbrot : notre regard s’y plonge en un zoom étourdissant, nous faisant découvrir une floraison infinie de détails, de variations, de figures biologiques cachées, d’amas galactiques infinitésimaux, d’efflorescences organiques… tous dissimulés dans la structure mathématique sous-jacente, toujours familiers, jamais monotones, toujours d’une délicatesse arachnéenne, et dont chacun est un monde infini à explorer... (Lire l'article)

Qu’importe le flocon !

Les concepts d’induction et de récursivité que nous avons explorés ces deux dernières semaines nous conduisent à un objet fascinant : la fractale. Ce joli mot, inventé dans les années 70 par le mathématicien franco-américain Benoît Mandelbrot, désigne une foisonnante classe d’objets mathématiques. De manière générale, un objet fractal présente une propriété d’auto-similarité : la partie ressemble au tout. Vue à différentes échelles, de très près ou de très loin, une fractale présente le même aspect général. La nature regorge de tels objets, du moins en approximation... (Lire l'article)

Tours infernales

Avez-vous jamais remarqué comment, quand le programme informatique que vous utilisez rencontre une difficulté, il s’arrange le plus souvent pour suggérer que c’est de votre faute ? Il existe cependant des cas où le logiciel fautif se retrouve dans une situation telle qu’il doive abandonner toute ligne de défense de ce type, reconnaître son incapacité à continuer quoi que ce soit, et abandonner immédiatement la partie en faisant seppuku. C’est ce qui se passe quand ses instructions lui commandent de faire quelque chose d’impossible, par exemple de lire le contenu d’une case de mémoire qui n’existe pas.  Il se retrouve alors tellement mal en point qu’il ne peut même pas vous prévenir avant de s’arrêter. (Lire l'article)

Les cocus de Bagdad

L'histoire des cocus de Bagdad ne figure pas dans Les Mille et une nuits. Mais elle est un classique des problèmes de logique dont la solution repose sur un mode de raisonnement central dans les mathématiques, que l’on appelle raisonnement par récurrence ou, plus classieux, par induction. Sommés par le Vizir d'acquitter un impôt sur leur infortune conjugale, les cocus de Bagdad mettent quarante jours avant de se présenter au Palais. Combien y en a-t-il, et pourquoi ont-ils attendu si longtemps pour se manifester ? Sachant qu’à Bagdad comme ailleurs, si vous êtes cocu, tout le monde le sait sauf vous... (Lire l'article)

Tu me la Bayes belle !

Les Jeux Olympiques avancent, et, du moins on peut l’espérer, les contrôles anti-dopage se multiplient dans l’espoir de faire oublier le “scandale russe” récemment révélé. Cependant, on ne peut pas tester tout le monde. Comment alors choisir au mieux les athlètes à contrôler ? Les maths peuvent y aider – en particulier une petite merveille appelée le théorème de Bayes, véritable couteau suisse à l’œuvre dans de multiples raisonnements, et outil intellectuel d’une profondeur philosophique abyssale. (Lire l'article)

Médaille d’Electrum

La glorieuse incertitude du sport – voici, en cas de défaite, de quoi rasséréner les aficionados férus d’uchronie réparatrice. Ah, si les poteaux avaient été ronds et non carrés lors de la finale de la coupe d’Europe des clubs champions de 1976 opposant Saint-Etienne au Bayern de Münich ! Ah, si Zizou avait conservé son calme face à Materazzi en finale de Coupe du Monde ! D’accord on a perdu, mais dans ces univers parallèles-là, on a tout de même gagné ! Peut-on un peu mieux quantifier le rôle du hasard dans le sport ? Un champion l’est-il uniquement de par ses capacités propres ? Usain Bolt est indéniablement un phénomène. Pour autant, la chance joue-t-elle un rôle dans ses résultats ? Il n’est pas très difficile de s’en faire une idée... (Lire l'article)

Citius, Altius, Fortius : Terminus ?

Avec ou sans Russes, les Jeux Olympiques vont commencer et occuper les écrans pour deux semaines. Nous pouvons y trouver nous aussi notre moisson non de médailles mais de réflexions mathématiques, à commencer par celle-ci : l’athlétisme aux JO, c’est jusqu’à quand ? Car, s’il sera toujours possible en 2100 de jouer au foot et de gagner un match de boxe, d’autres disciplines pourraient bien se heurter à ce petit obstacle mathématique que l’on appelle une limite. Il y a ainsi grand risque que cette discipline reine qu'est le cent mètres masculin, un jour pas si éloigné que ça, perde tout intérêt – et ce même sans dopage. Tout d’abord, lors de chaque compétition à haut niveau règne l’espoir de voir tomber un record du monde. Mais que pouvons-nous en espérer, à Rio ou après ? (Lire l'article)

Devoirs de vacances

Douglas Adams, Le Guide du Voyageur Galactique, traduit de l'anglais par Jean Bonnefoy, Gallimard, coll. Folio SF, 2010. Le nombre imaginaire, chronique mathématique de Yannick Cras dans délibéré

Plaisirs de farniente et de lecture… une fois n’est pas coutume, cette (courte) chronique offre quelques suggestions pour occuper votre esprit s’il en est besoin. D’abord, la toujours intéressante chronique de Jean-Paul Delahaye dans Pour la Science, intitulée Logique et Calcul. Au programme de ce mois de juillet, on trouve un problème dit “des 50 prisonniers”. Dans le même numéro de cet excellent magazine, une réflexion passionnante de Christian Walter sur la finance dite éthique, et en particulier sur le caractère performatif des algorithmes qu’elle utilise. Enfin, on pourra lire ou relire avec profit l’hilarante et autoproclamée unique trilogie en cinq volumes de Douglas Adams, Le Guide du Voyageur Galactique. (Lire l'article)

Descartes à la plage

Ah, les plaisirs de la plage ! Vous étiez en train de jouer entre copains au beach volley quand la combinaison d’une passe puissante mais maladroite et d’une bourrasque soudaine fait voler le ballon dans l’eau, à quelque distance du rivage. L’émulation s’empare des deux équipes : celle qui récupèrera le ballon aura le prochain service, à moins d’ailleurs que la partie ne se transforme en match de water-polo. En tout cas c’est clair : il faut aller récupérer ce ballon avant les autres ! Les capitaines des deux équipes s’élancent. Alice, pour les Bleus, est fluette mais rapide à la course. Basile, pour les rouges, est lourd mais nage comme un dauphin.  Lequel des deux arrivera le premier au ballon ? (Lire l'article)

Choisissez au hasard…

Si vous êtes comme moi, voici un jeu auquel vous n’avez guère joué depuis vos (très) jeunes années : le papier enveloppe la pierre ; la pierre casse les ciseaux ; les ciseaux coupent le papier. Je me suis amusé, il y a de nombreuses années de cela, à coder un programme d’ordinateur jouant à pierre-papier-ciseaux contre un humain. Sans tricher, ce programme en vint rapidement à battre son adversaire humain dans 70% des parties. Un programme fort simple, gagnant de manière statistiquement très significative contre son concepteur ! (Lire l'article)

On y va, oui ? J’travaille, moi !

Nous vous avons laissée la semaine dernière, le doigt sur votre téléphone, prête à appliquer la brillante stratégie aléatoire symétrique de votre invention qui ouvrira cette maudite route à vous comme à votre brillant collègue d'en face. Il ne vous reste qu'à choisir au hasard une heure dans les treize prochaines minutes et demie, puis à vous engager dans la chicane le moment venu ou si vous voyez l'autre véhicule en sortir. C'est alors que vous vient à l'esprit une nouvelle idée : votre stratégie n'est peut-être pas la meilleure possible pour minimiser votre temps moyen d’arrivée. Cette solution, contrairement à la précédente, ne vous garantit plus un temps de traversée maximal, mais elle abaisse d’une dizaine de secondes le temps moyen d’arrivée. (Lire l'article)

Après vous, je vous en prie…

Par temps d’inondation, vous vous rendez à un congrès mathématique important et n'êtes pas en avance. Mais voilà : avec toutes ces routes barrées, le trajet habituel vers l'université est impraticable. Vous devez prendre les petites routes, et traverser une détestable portion encaissée de chemin communal à une voie, habituellement peu fréquentée car elle s'entortille en épingles à cheveux, sans dégagement ni visibilité, sur cinq cents mètres. Manque de chance, les feux qui régulent normalement la circulation alternée sont en panne ! Pour tout arranger, au moment où vous arrivez à l’entrée de cette chicane, vous distinguez de loin un véhicule qui arrive de l’autre côté et se prépare lui aussi à s’y engager. Vous-même vous arrêtez un instant pour réfléchir... (Lire l'article)

J’balance pas, j’évoque !

Bien des gens qui jetteront sans état d’âme un mégot sur un trottoir déjà jonché ne veulent pas être le premier à polluer une rue propre. Nous savons d’une certaine manière que nos actes individuels sont représentatifs du groupe auquel nous appartenons, et en prédisent donc en quelque sorte le comportement global, même sans qu’aucune causalité ne puisse être établie entre nos actions et celles des autres : beaucoup d’entre nous sont influencés par cette voix qui dit “si tout le monde faisait comme vous…” et agissent comme si le fait, par exemple, de remplir honnêtement sa déclaration d’impôts pouvait aussi encourager les autres à le faire. Ah, si seulement c’était le cas ! (Lire l'article)

Échecs et Maths

Qu’y a-t-il de commun entre l’économie et un jeu tel que les échecs, le poker ou le go ? Dans tous les cas, un certain nombre d’acteurs – les joueurs ou les agents économiques – ont à leur disposition diverses options qui peuvent leur rapporter ou leur coûter une valeur – le gain de la partie ou un bénéfice financier. Les joueurs peuvent jouer ensemble ou l’un après l’autre ; ils peuvent partager la même information (comme aux échecs, où tout est sur la table), ou n’en connaître qu’une partie (comme au poker où chacun ne voit que son jeu) ; leurs intérêts peuvent être conflictuels (un seul gagnant) ou compatibles (commerce, économie collaborative) ; le gain peut être qualitatif (un titre de champion du monde) ou quantitatif (une plus-value). (Lire l'article)

Liberté+égalité+fraternité=?

Le désaccord est bien plus passionnant que le consensus quand il vous oppose à un esprit exigeant, ouvert et affuté. Mon interlocuteur, appelons-le Y., se présente comme libéral, au sens vrai et étymologique du terme : celui pour lequel la valeur de liberté est essentielle . Nous devisions santé. Y. m’expliquait qu’à son sens, il devrait – comme chacun d’entre nous – être libre de choisir entièrement son système de couverture santé, y compris la possibilité de n’en avoir aucun. Je me suis interrogé depuis sur ce que pourrait donner, traduite dans le réel, la proposition de Y. Peut-on, au moins en théorie, accommoder l’idéal de liberté avec celui de fraternité ? Et qu’en serait-il alors de notre troisième valeur, l’égalité ? (Lire l'article)

L’incertitude nécessaire

Le gouvernement a très récemment décidé d’opérer une coupe dans le budget de la recherche publique, pour un montant de 256 millions d’euros (faut-il voir dans cette puissance de 2 un hommage involontaire aux informaticiens ?). Or la recherche se mène sur le long terme, et tenter d’infléchir sa course trop brutalement peut faire caler le moteur. Une coupe d'apparence minime peut entraîner par effet domino des conséquences bien plus importantes : c'est ce que l'on appelle une non-linéarité. Si je retire la touche 'D' de votre clavier, il vous en restera une grosse centaine mais vous perdrez beaucoup en productivité. (Lire l'article)

Loue charmante studette, vue imprenable, prix d’équilibre

Une réalité, même si elle peut s'expliquer mathématiquement, n'est pas justifiée politiquement ou moralement de ce fait. Est-il, par exemple, moralement juste ou socialement gérable qu'un 10m² se loue 450€ à Paris ? On est en droit de considérer que non, et ce même si ce prix est un prix d'équilibre sur un marché parfait. Comme l'explique André Comte-Sponville, subordonner la politique ou la morale à la technique, c'est une forme de confusion des ordres (qu'il appelle en l'occurrence de la barbarie). À l'inverse, nier les maths au nom de la morale serait une autre forme de confusion des ordres. (Lire l'article)

Économaths

Les maths et l'économie ont une relation la fois très intime et très conflictuelle. Pourquoi donc ? Les maths échappent à l'exigence empirique dans la mesure où une théorie mathématique n’a de comptes à rendre qu’à elle-même. Ce qu’on lui demande ? D’être cohérente, c’est-à-dire de ne pas démontrer tout et son contraire ; et d’être la plus expressive et complète possible. À l’opposé du spectre, l’économie vise à étudier les règles (s’il en est) qui régissent les échanges entre individus, entre groupes sociaux, entre “acteurs” du marché. Il est difficile de trouver une discipline plus ancrée dans le réel. Force est pourtant de reconnaître qu’à première vue l’empirisme y bat souvent de l’aile. Est-ce donc à dire que les économistes sont des charlatans et les mathématiciens des solipsistes ? (Lire l'article)

Le pire des régimes…

Parmi les contributions de Condorcet aux mathématiques, il en est une d’actualité en cette période d’incertitude électorale : il fut le premier à constater l’impossibilité pour une société d’établir un classement cohérent entre plusieurs options – par exemple des candidats à la présidence – à partir des préférences individuelles de ses membres. Ce paradoxe n’est pas que théorique, puisque le scrutin uninominal majoritaire à deux tours peut en effet faire arriver en troisième position un candidat capable de battre en duel n’importe lequel des deux finalistes. Mais deux chercheurs de l’École Polytechnique ont proposé il y a quelques années un système dit du jugement majoritaire... (Lire l'article)

Escaliers d’Escher et pyramides de sable

L'exponentielle, késaco ? Plus que le logarithme, dont elle est pourtant consubstantielle, l’exponentielle nous est familière au moins par l’expression consacrée croissance exponentielle. Ce terme, appliqué tout aussi bien à la population mondiale, à l’économie du loup ou dragon économique du moment ou à la puissance de calcul informatique qu’aux comptes Facebook ou Twitter, suscite autant l’admiration que l’effroi. On le retrouve ad nauseam, non sans raison parfois, mais bien souvent sans guère plus de réflexion. (Lire l'article)

Deux cafés et le logarithme, parakaló !

Un voyage en Grèce est aussi une belle promenade en terroir linguistique. Un plaisir tout particulier est d'y demander l’addition – to logariasmó. Si nous pouvions payer des logarithmes plutôt que des additions, la vie serait bien douce, surtout aux beaux jours en terrasse. Le premier verre de blanc vous coûterait cinq euros  ; mais le suivant ne vous coûterait que 70 centimes de plus, et pour la même somme on vous en apporterait encore deux de plus. Le logarithme, en effet, est une incroyable petite machine à transformer les multiplications en additions. (Lire l'article)

… Mais certains sont plus égaux que d’autres

Soit une entreprise où il apparaît qu'à fonction égale les femmes gagnent 5% de plus que les hommes. Le résultat d'une politique de discrimination positive ? Ou l'effet “plafond de verre”, qui veut qu'à compétence égale, les femmes seront promues moins souvent et plus tard que les hommes, et avanceront moins vite dans la hiérarchie ? La comparaison des salaires à l'intérieur d'un même grade, si elle est juste d'un point de vue comptable, est tout simplement trompeuse. (Lire l'article)

Élimine 99,9% des arnaques au pourcentage!

Arrêtons-nous un instant sur ces pourcentages “presque parfaits” dont publicitaires et lobbyistes nous farcissent la tête. Un filtre à air qui élimine 99,9% des bactéries, un hébergeur informatique qui vous assure un fonctionnement fiable à 99,5%, ça en jette ! Mais les pourcentages, quand ils sont proches de 100%, nous tendent un piège. Là où cela se complique encore, c’est quand ces pourcentages concernent des tests médicaux ou à usage légal. Les implications, dans de tel cas, sont très sérieuses. (Lire l'article)

Merci d’avoir joué

Le pourcentage est un animal rétif, difficile à maîtriser et qui échappe facilement à notre intuition. Il en existe une variété particulièrement vicieuse, qui nourrit une industrie florissante dont le chiffre d'affaire annuel en France est à peu près égal au service de la dette publique ; elle justifie les atermoiements répétés concernant les mesures à prendre contre le réchauffement climatique ; elle explique que bon nombre de nos choix personnels ou collectifs se révèlent d'une irrationalité touchante (ou terrifiante). Je vous parle ici des probabilités, qui déterminent aussi bien les gains de la Française des Jeux et consorts que les estimations quant à l'accroissement de la température moyenne d'ici 2050. (Lire l'article)

N’appelez pas votre fils Marcel!

La semaine dernière, nous avons identifié un mécanisme mental qui peut, même en toute bonne foi, transformer un quart en deux tiers, 25% en 67%, énorme erreur qui doit nous inciter à ne toucher aux pourcentages qu’avec des pincettes. Mais nous n’en avons pas fini avec cette histoire car nous devons maintenant nous colleter avec un autre mécanisme mental, tout aussi insidieux, et que nos politiques utilisent à qui mieux mieux. Pour en juger, je vous propose de nous exercer tout d’abord sur la théorie suivante : s’appeler Marcel porte malheur ; en effet les Marcel consomment deux fois plus que la moyenne nationale en frais de santé. (Lire l'article)

Les pourcentages du ministre

Les maths sont intimement liées à notre vie quotidienne, sociale, économique et citoyenne. La méconnaissance parfois clairement assumée, sinon même encouragée, de raisonnements mathématiques simples conduit nos décideurs et nous-mêmes à proférer et accepter de monumentales âneries qui peuvent provoquer beaucoup de dégâts. Les calculs, franchement, on s’en fiche : il y a des ordinateurs pour ça. Mais comprendre ce que les chiffres signifient, comment on les obtient, et quand les croire ou non, cela peut s’apprendre, assez simplement, et c’est indispensable si nous voulons conserver notre rôle de citoyen actif. (Lire l'article)

Deux et deux font n’œuf

Nous avons découvert la semaine dernière l’arithmétique Shadok dans laquelle deux et deux font cinq (entre autres). Il y a de quoi être légitimement fier ; mais le travail n’est malheureusement pas fini. Car il se trouve que les mathématiciens sérieux, voyant venir le coup, ont adjoint aux nombres entiers naturels quelques axiomes supplémentaires et fort contrariants. Certes, aucune loi ne nous empêche d’ajouter des axiomes contradictoires à une théorie ; le problème, c’est que dans ce cas on peut prouver à peu près tout et son contraire, ce qui fait que la théorie ne nous sert strictement plus à rien. Voilà qui est fâcheux. (Lire l'article)

2+2=5 et ce qui en découle

Vous êtes-vous jamais demandé ce qui se passerait si 2 et 2 faisaient 5 ? Peut-être avez-vous même osé poser la question à l’une ou l’autre autorité en la matière ? Auquel cas vous vous serez attiré au mieux un regard de commisération, au pire un soupir excédé ou une remarque sarcastique… Si vous vous reconnaissez dans cette histoire, souriez : votre revanche est proche ! Les maths sont un terrain de liberté dont les questions tracent les chemins ; et il n’y a pas de question stupide en la matière. Nous allons donc explorer celle-ci, qui en vaut bien d’autres, et vous en retirerez de quoi fissurer quelques certitudes. (Lire la suite)

La flèche immobile

La clientèle de l’hôtel Aleph est exigeante, et nulle considération absconse quant à la possibilité ou non de faire tenir des clubs dans des chambres ne saurait lui tenir lieu d’excuse valable. Pour résumer l'opinion générale : quand on veut on peut, et au prix où se paye la nuitée la direction ne devrait pas regarder à la dépense, ou bien on ira voir ailleurs. Comme l’un des résidents les plus vindicatifs ne se priva pas de le dire à Hilbert, “vous savez remplir ℵ0 chambres d’un coup, nous pourrions bien vous montrer comment les vider tout aussi rapidement”. Bref, la crise. (Lire la suite)

Une leçon d’humilité

Bien, nous avons donc une nouvelle sorte de nombre, appelés nombres réels à l’encontre du bon sens, et qui ne tient pas dans l’hôtel Aleph. Que ce soit un souci pour Hilbert et Russel, on le comprend, mais pourquoi devrions-nous nous sentir concernés? D’autant qu’après tout l’infini de l’hôtel Aleph, que l’on appelle l’infini dénombrable, contient tout de même une quantité proprement incroyable de choses. Que l’hôtel puisse toujours accueillir un client de plus ne paraît pas très surprenant : sinon on ne parlerait pas d’infini. (Lire la suite)

La Diagonale du Fou

Hilbert n’avait jamais eu de problème jusque là pour libérer des chambres de l’hôtel Aleph à la demande, en nombre infini même si nécessaire ; et le voilà pourtant coincé sur une affaire qui ne paraît après tout pas plus monstrueusement déraisonnable, au point où nous en sommes, que les autres. Impossible de trouver une chambre pour chaque club de résidents ; on a beau pousser ou tirer : rien à faire, ça ne rentre pas. Que peut-il bien se passer ? Et tout d’abord, est-on bien sûr qu’il y a un problème ? (Lire la suite)

Le Meta Club

Un résident célèbre de l’hôtel Aleph est le grand mathématicien et philosophe britannique Bertrand Russel, troisième comte du nom – un nom qui compte. Avant de prendre ses quartiers à l’hôtel, Russel vécut parmi nous presqu’un siècle, de 1872 à 1970 – le temps pour lui, entre autres petites choses, de cofonder la logique mathématique moderne, de contribuer à la philosophie des sciences, de passer six mois en prison pour pacifisme, d'épouser quatre femmes et de remporter un prix  Nobel de littérature. Russel est le fondateur du Meta Club. (Lire la suite)

Bienvenue à l’hôtel Aleph

Nos rapports avec l’infini sont un peu ceux de saint Augustin avec le temps : nous savons ce que c’est jusqu’à ce qu’on nous le demande. Bienvenue dans l’hôtel Aleph, dirigé de main de maître par l’immense mathématicien David Hilbert. Cet hôtel luxueux possède ℵ0 chambres, et la qualité du service se traduit par un taux d’occupation record : il est toujours plein. L'arrivée d'un nouveau client n’est cependant pas un problème... (Lire la suite)

La vache imaginaire

Nous en sommes restés à ces drôles de questions qui se posent quand on considère rien comme quelque chose… et en voici justement une qui se détache comme un agio sur un relevé bancaire : zéro moins dix, ça fait quoi ? La réponse est vieille comme le commerce, comme la dette ; mais c’est pourtant encore un nombre imaginaire, et comme tel magique et fertile en rêve. (Lire la suite)

Sifr

Ainsi nous voilà, sédentaires et commerçants, avec ces systèmes de numération assez mal fichus qu’on passait des années à maîtriser, et qui donnaient donc un pouvoir exorbitant à la caste de ceux qui en connaissaient les secrets ; ça arrangeait bien les gens qui comptent, somme toute. On aurait donc pu en rester là. Seulement voilà, malgré la vigilance des académies il y a toujours quelque part un petit malin ou un emmerdeur patenté pour poser la question qui gêne. (Lire la suite)

Ceux qui comptent

Un oiseau, deux oiseaux… tous ces oiseaux ! La chasse sera bonne. Tout a commencé ainsi, et nous en sommes longtemps restés là. Que veut dire compter, quand chaque jour apporte ce qu’il faut de nourriture – ou pas ? Quand ni hier ni demain ne comptent, justement, et que vous ne trouverez plénitude ou famine que dans l’éternel aujourd’hui, sans devoir ni pouvoir thésauriser, sans chercher à prévoir l’imprévisible ? (Lire la suite)