Aux quatre coins du temps

“Le Nombre imaginaire” ou les mathématiques comme terrain de jeu où l’imagination seule fixe les limites.

Continuons notre promenade dimensionnelle en sautant allègrement l’étape « trois dimensions » – après tout, nous y vivons tous et y sommes experts. On notera simplement qu’un espace à trois dimensions est le premier dans lequel on puisse faire un nœud ou inventer la vis, ce qui n’est pas rien ; et on n’oubliera pas de se souvenir que nos trois belles dimensions, à elles seules, ne nous renseignent absolument pas sur la forme de notre univers. Il semble bien être spatialement illimité – on aurait d’ailleurs du mal à imaginer que ce qui se trouve au-delà d’une quelconque limite ne soit pas « quelque chose » faisant partie de l’univers. Mais, s’il semble en pratique être infini et même très, très plat, rien n’empêcherait au moins logiquement qu’il soit fini, comme la surface d’une sphère ou d’un tore. On pourrait imaginer qu’avançant droit devant nous nous finissions par nous retrouver au même endroit ; et nous pourrions même nous transformer en notre reflet au passage, sans que cela entre en contradiction avec les lois de la physique. Par ailleurs, rien ne nous dit que l’univers ne comporte pas des trous en certains endroits, comme un bretzel géant.

Mais passons rapidement et dirigeons-nous vers la destination suivante, l’espace à quatre dimensions. Là, il est impossible de ne pas parler en premier lieu du temps, la quatrième dimension par excellence, enfant chérie des auteurs de science-fiction.

L’univers de la Relativité, le fameux espace-temps, est ainsi un monde à quatre dimensions – trois d’espace et une de temps. Ce monde est régi par une géométrie particulière ; les transformations dites de Lorentz y relient l’espace au temps d’une manière un peu compliquée. On ne peut pas transformer l’espace en temps aussi simplement qu’en prenant un virage, comme on peut transformer la longueur en largeur en tournant à quatre-vingt-dix degrés dans l’espace. Cependant, oui, il existe bien des équivalences entre espace et temps, chaque observateur ayant son propre espace et son propre temps ; de même qu’un même point situé devant vous peut être à gauche pour moi, de même nous vivons dans des temps et des espaces subtilement différents – deux événements séparés d’une certaine distance et d’un certain temps pour vous peuvent être légèrement plus rapprochés dans l’espace et dans le temps pour moi. C’est ce qui explique qu’un hypothétique vaisseau spatial voyageant à une vitesse proche de celle de la lumière nous paraîtrait raccourci dans le sens de la longueur, avec un équipage vivant au ralenti. On peut donc bien « tourner » dans l’espace-temps, échangeant du temps contre de l’espace ; et il est même possible d’y tracer des boucles fermées « du genre temps », ce qui est une manière assez classe de dire que le voyage dans le temps est, d’une certaine manière, possible (sans contredire ni le principe de causalité ni la théorie de la Relativité ; n’espérez pas tuer votre grand-père ni donner à votre moi d’il y a un an les résultats du dernier Euro-million).

Un aspect fascinant de la géométrie de l’espace-temps, c’est que la distance entre deux points (définis par trois coordonnées d’espace et une de temps) s’y exprime de manière très particulière. Dans un espace normal, mettons à deux dimensions, on peut calculer la distance entre deux points A et B, chacun repéré par des coordonnées X et Y, en utilisant le théorème de Pythagore : le carré de la distance est égal à la somme des carrés de la différence entre XA et XB et de la différence entre YA et YB. Soit :

AB2 = (XA-XB)2 + (YA-YB)2

Par exemple, si Glouginy est à 3 km à l’ouest de Gargamelle-sur-Isore et 4 km au nord, le carré de leur distance est 3×3 + 4×4 = 25 km2, et ces deux villes sont donc distantes de 5 km.

Dans l’espace à trois dimensions, cela marche aussi. On ajoute une coordonnée, Z, pour la hauteur de chaque point ; et la distance entre A et B vérifie AB2 = (XA-XB)2 + (YA-YB)+ (ZA-ZB)2.

Dans l’espace-temps, un point s’appelle un événement ; il est repéré par trois coordonnées d’espace (X,Y,Z) et par une cordonnée de temps, T. Si on choisit la seconde comme unité de temps, on adoptera la seconde-lumière – c‘est-à-dire la distance parcourue par la lumière en une seconde, soit environ 300 000 km – comme unité d’espace. Avec cette convention, la distance entre deux événements se mesure également ; mais la coordonnée temporelle intervient négativement dans le calcul. La « distance » entre deux événements s’écrit en effet (selon une certaine convention) AB2 = (XA-XB)2 + (YA-YB)2+ (ZA-ZB)2 – (TA-TB)2. La théorie de la relativité nous enseigne que cette « distance » entre deux événements est invariable : deux observateurs en mesureront la même valeur, de même que la distance entre Glouginy et Gargamelle-sur-Isore ne change pas en fonction de votre orientation. Dans cette formule, regardez bien le signe « moins » devant le temps : il est extraordinairement troublant. Tout d’abord parce que le carré de la distance ainsi obtenu peut être négatif, ce qui signifie que cette distance est (dans certains cas) un nombre complexe. Mais aussi parce que deux événements différents peuvent avoir une « distance » nulle ! Il y a à cela une explication : cela se produit si un rayon de lumière émis à l’endroit et au moment de l’événement A arrive à l’endroit et au moment de l’événement B. Par exemple, A est l’événement « La Lune (sur sa trajectoire) occulte le bord du Soleil » et B est « j’observe (depuis la Terre) le début de l’éclipse ». Or, il se trouve que si un photon du rayon de lumière en question pouvait parler, il nous dirait que pour lui les deux événements n’en font qu’un : le photon voit tous les événements qu’il traverse en même temps. Dans ce repère-là, du point de vue du photon, les deux événements sont effectivement confondus. Dans d’autres repères ils sont distincts en temps et en espace, et différents observateurs les verront situés à des intervalles de temps et d’espace différents ; mais ils calculeront tous la même « distance » entre ces deux événements.

L’espace-temps einsteinien est passionnant mais difficile à conceptualiser. Il en existe des variantes plus simples, plus compréhensibles et pourtant d’une grande richesse. Une fois n’étant pas coutume, je me dois de faire ici l’apologie d’un jeu vidéo absolument remarquable appelé Braid – la tresse, écrit avec les moyens du bord par un développeur indépendant. Il s’agit d’un jeu « deux dimensions », dans lequel un petit personnage se déplace sur l’écran à la recherche de sa princesse bien aimée. Dans chacun des mondes qu’il parcourt, le temps se comporte différemment ; le joueur dispose d’une capacité à remonter le temps, et doit apprendre à en maîtriser les propriétés pour résoudre les énigmes qui lui sont posées. Dans l’un des mondes en question, le temps et la largeur de l’écran sont une seule et même dimension : se déplacer vers la droite c’est se déplacer vers le futur ; reculer vers la gauche vous ramène aussi dans le passé. La richesse et la diversité des énigmes posées par cette contrainte sont bluffantes. Ajoutons à cela que les décors sont pleins de poésie et que l’histoire, qui nous révèle progressivement la nature réelle du héros et de sa princesse, se charge d’émotion vraie et se termine sur un final – je pèse mes mots – bouleversant. Ce qui paraissait n’être qu’une récréation anodine quoique intelligente se mue ainsi en réflexion sur le temps du regret, des occasions perdues, du deuil, du jamais plus.

Puisque nous en sommes à parler de jeux, l’un d’entre eux – en chantier depuis des années et qui tarde à sortir – est consacré à un monde à quatre dimensions d’espace, cette fois. Il nous permet de nous promener dans un jardin quadridimensionnel où nous devrons résoudre des énigmes qui seraient insolubles dans notre monde à trois dimensions, comme apprendre à tourner dans la quatrième dimension pour entrer dans une pièce fermée. Le matériel d’ores et déjà disponible sur ce jeu, Miegakure, vaut le coup d’œil : on y apprend par exemple comment faire pousser une fleur réaliste… à quatre dimensions.

Yannick Cras
Le nombre imaginaire