Citius, Altius, Fortius : Terminus ?

“Le Nombre imaginaire” ou les mathématiques comme terrain de jeu où l’imagination seule fixe les limites.

Avec ou sans Russes, les Jeux Olympiques vont commencer et occuper les écrans pour deux semaines. Nous pouvons y trouver nous aussi notre moisson non de médailles mais de réflexions mathématiques, à commencer par celle-ci : l’athlétisme aux JO, c’est jusqu’à quand ?

Car, s’il sera toujours possible en 2100 de jouer au foot et de gagner un match de boxe, d’autres disciplines pourraient bien se heurter à ce petit obstacle mathématique que l’on appelle une limite. Il y a ainsi grand risque que cette discipline reine qu’est le cent mètres masculin, un jour pas si éloigné que ça, perde tout intérêt – et ce même sans dopage.

Tout d’abord, lors de chaque compétition à haut niveau règne l’espoir de voir tomber un record du monde. Mais que pouvons-nous en espérer, à Rio ou après ?

Il est intéressant de regarder l’historique des records du monde du cent mètres messieurs. Les données sont largement disponibles sur Internet, depuis le premier record homologué en Juillet 1912 (Donald Lippincott, USA, 10 secondes 6 dixièmes) jusqu’au dernier en Août 2009 (le mythique Usain Bolt, Jamaïque, 9 secondes 58 centièmes). Elles sont un peu brouillées par les conflits mondiaux, par quelques tristes affaires de dopage avec invalidation rétroactive de record, par l’atypique météore Usain Bolt, et surtout par l’introduction du chronométrage électronique au centième puis au millième de seconde. Tout cela a bien évidemment joué sur la durée moyenne d’attente entre deux nouveaux records – il est par exemple plus facile de gagner un centième de seconde, pour peu qu’on sache le mesurer, qu’un dixième.

Cependant, si l’on prend un peu de distance, on constate que le gain de performance s’achemine vers un plateau. Ainsi, passer de 10 secondes 6 dixièmes à 10 secondes 4 dixièmes aura pris neuf ans ; les deux dixièmes de seconde suivants ont été gagnés en quinze ; ceux d’après, pour arriver à 10 secondes, ont demandé vingt-quatre ans d’attente supplémentaire ; pour arriver à 9 secondes 8 dixièmes, on a attendu trente-neuf ans ; et il aura fallu l’incroyable phénomène Usain Bolt pour franchir la barre des 9 secondes 6 dixièmes en seulement dix ans (avec un dixième gagné par le même sur son propre record en un an seulement !).

Il se trouve que ce ralentissement, quels que soient les progrès faits en matière d’entraînement, de matériel et de mesure, est mathématiquement inévitable. En effet, les biomécaniciens qui modélisent le corps humain et les processus physiques et énergétiques en œuvre lors d’une course établissent des limites théoriques à la performance. D’après eux, Usain Bolt pourrait peut-être descendre en dessous de 9 secondes 4, et l’on estime que le record ultime envisageable serait de cet ordre ; mais, en tout état de cause, aucun être humain (du moins avec notre définition actuelle de l’espèce) ne pourra jamais courir le cent mètres en cinq secondes ! Le corps humain n’est tout simplement pas fait pour ça.

Or un théorème fondamental de l’analyse, l’étude des fonctions, indique qu’une fonction décroissante et dont on connaît une borne inférieure, comme celle qui relie une date au record du monde en vigueur à cette date, a nécessairement une limite : un nombre dont elle se rapproche d’aussi près que l’on veut, qu’elle n’atteindra peut-être jamais, mais qu’en tout cas elle ne franchira pas. Cela signifie en particulier qu’aussi petite soit une distance donnée à cette limite ultime, elle finira par être franchie. Si la limite du record possible (que nous ne connaissons pas) est, mettons, de 9 secondes 40, alors elle finira par être atteinte à un centième, puis à un millième de seconde près, mais jamais dépassée.

Par ailleurs il y a également une limite à la précision que nous pouvons demander au chronométrage si nous voulons qu’il conserve un sens. Mesurer à l’aide d’une horloge atomique l’arrivée de la pointe du pied du coureur sur une ligne d’arrivée matérialisée par un faisceau laser est certainement faisable, mais gagner une nanoseconde (le temps mis par la lumière à parcourir 30 centimètres) sur un record parlerait plus de l’épaisseur de la semelle, des conditions atmosphériques locales, voire des micro-séismes  ambiants, que de la technique de l’athlète ; cela relèverait en fait du plus pur hasard. Nous sommes donc mathématiquement certains d’une chose : il y aura, un jour, un dernier record du monde du cent mètres, et il n’est pas impossible que ce soit celui d’Usain Bolt en 2009.

Mais il y a peut-être pire. La performance moyenne des athlètes, elle aussi, paraît en constante augmentation, et l’écart entre les meilleurs et leurs challengers en constante diminution. Aux JO de 1936, par exemple, la médaille d’or Jesse Owens avait un dixième de seconde d’avance sur la médaille d’argent et deux sur la médaille de bronze. En 2008, le phénoménal Usain Bolt devançait certes son plus proche adversaire de deux dixièmes (!) mais ce dernier ne devançait le troisième que de deux centièmes. En 2012, l’écart entre Bolt et son poursuivant s’est réduit à (tout de même) un dixième de seconde, le troisième suivant à quelques centièmes. Si l’on se tourne vers d’autres disciplines (sans un Usain Bolt pour démonter tous nos raisonnements statistiques), on observe le même genre d’évolution. En 1936, l’écart entre le premier et le troisième au 5000 mètres messieurs était ainsi de cinq secondes ; en 1984, de trois secondes ; en 2008, de moins d’une seconde.

La fonction qui, à une date donnée, associe l’écart entre la médaille d’or et la médaille de bronze semble donc, elle aussi, décroissante à quelques fluctuations de hasard près ; elle admet donc une limite, qui peut être nulle ou non.  

Nous voici alors face à un paradoxe. Si la différence de performance entre les athlètes continue ainsi de se réduire arbitrairement, grâce à leur entraînement assidu et aux progrès techniques, alors nous finirons par ne plus savoir les départager ; quel intérêt présenterait un cent mètres, sans parler d’un marathon, dans lequel tous les coureurs arriveraient en même temps à un centième de seconde près ? Et si cette différence atteint un plateau, qu’en sera-t-il alors de la devise olympique, plus loin, plus haut, plus fort ? On se retrouverait avec une domination sans partage d’une petite classe de champions à jamais indétrônables, séparés des autres par une distance infranchissable, ce qui serait bien peu conforme à l’esprit olympique.

Cruel dilemme… Votre dévoué chroniqueur s’en remettra pour sa part à la sage maxime de Churchill : no sports.

Yannick Cras
Le nombre imaginaire

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