L’hypoténuse est inéluctable

“Le Nombre imaginaire” ou les mathématiques comme terrain de jeu où l’imagination seule fixe les limites.

Ma compagne et moi sommes confrontés à un petit mais irritant problème de jardin. Nous cherchons un coffre susceptible d’accueillir nos outils de jardinage – dont le plus long mesure 1m50 – tout en servant de banc ; or aucun de ceux que nous trouvons sur Internet ne semble avoir été conçu avec l’idée toute bête qu’on aimerait y ranger des outils de cette taille (ou alors on tombe dans l’abri de jardin). On trouve du 1m30 sur 60×60, ce genre de choses… rien de bien plus long. Il faudrait peut-être se résigner à ranger nos outils en diagonale, ce qui n’est guère commode.

Nous en parlions quand me revint l’obsédant poème de mirliton appris je ne sais pour quelle raison dans l’enfance, et pour toujours associé depuis au théorème de Pythagore :

Le carré de l’hypoténuse
Est égal, si je ne m’abuse
À la somme des carrés
Des deux autres côtés

que je lui récitai illico.

Certes, me répondit-elle en substance, c’est bien joli tout ça, mais ce qui m’intéresse ce n’est pas tant de savoir calculer la diagonale : c’est de comprendre pourquoi c’est comme ça et pas autrement.

Ce qui me scotcha pour un moment.

Car cela n’a rien d’évident. On peut prouver le théorème de Pythagore, bien sûr, et de multiples manières ; sa connaissance empirique remonte tout de même à quelque quatre mille ans. La démonstration de Pythagore lui-même, au VIe siècle avant notre ère, reste inconnue ; mais Euclide en donna une preuve géométrique dans ses Éléments dès le IIIe siècle avant Jésus-Christ. Ce théorème appartient à toutes les cultures et à tous les temps ; le mathématicien chinois Liu Hui en proposa une preuve « par puzzle » au deuxième siècle de notre ère, et Léonard de Vinci s’y essaya paraît-il. Mais démontrer un théorème, est-ce en soi suffisant pour comprendre pourquoi ça doit être comme ça et pas autrement ? Je peux suivre pas à pas les étapes d’un raisonnement, et conclure logiquement à la véracité de l’énoncé, sans pour autant qu’un sentiment d’évidence s’installe, sans que ma connaissance fraîchement acquise n’acquière certains attributs, si j’ose dire, de la foi : la connaissance purement intellectuelle se complétant de la certitude d’une vérité proprement inéluctable. Or, comprendre, c’est véritablement cela : sentir de manière organique, charnelle, pourquoi les règles du jeu que nous avons inventées rendent inévitable le résultat ; ce qui implique aussi de comprendre ce qui devrait changer dans nos règles du jeu pour que cela ne soit pas vrai – comme nous avons essayé de le faire en jouant avec différentes valeurs de 2 + 2.

Ce qui, pour votre chroniqueur au moins, déclenche l’état le plus proche d’un éclair de compréhension, c’est un dessin que vous trouverez ici :

Découpez deux triangles rectangles bleus et deux verts identiques, et placez-les sur un fond jaune. Nous pouvons les disposer de deux manières pour qu’ils forment un carré de même côté, avec un ou deux carrés vides (en jaune). Et voilà, rien d’autre à dire – si ce n’est pas évident je ne sais pas ce qui l’est.

Pourtant, n’importe quel marin au long cours ou pilote de ligne lirait ces lignes en soupirant. Libreville, au Gabon, est située sur l’équateur et distante de 10000 km du Pôle Nord ;  c’est aussi le cas de Mompiche, petite localité sur la côte pacifique de l’Équateur (le pays).  Si, en vous plaçant au pôle, vous releviez la direction de ces deux villes, vous observeriez un angle droit. Le théorème de Pythagore vous donnerait alors la diagonale reliant Libreville à Mompiche, une distance de plus de 14000 kilomètres. Mais, comme un relevé cartographique vous le confirmera aisément, ces deux lieux sont en réalité distants de 10000 km. On dirait qu’il y a un petit souci – un souci tout aussi évident que le dessin qui précède, et qui le contredit.

Nous devons en conclure que le théorème de Pythagore n’est pas si universel que ça. De fait, il est intimement mêlé à ce qu’on appelle la géométrie plane, ou euclidienne. Cette géométrie est celle que nous apprenons à l’école, celle que nos ancêtres arpenteurs de terrain ont appliquée leur vie durant, celle qui correspond le mieux à nos perceptions quotidiennes ; il n’est guère étonnant que nous raisonnions instinctivement dans le cadre qu’elle offre, au point d’oublier qu’il peut y en avoir d’autres. Mais ces dernières n’en existent pas moins. Si elles partagent toutes certaines définitions et propriétés, elles divergent par d’autres.

Euclide avait théorisé la géométrie en quelques affirmations simples, supposées évidemment vraies, et dont découlaient toutes les propriétés – théorème de Pythagore en tête – démontrées dans ses Éléments. Le cinquième postulat d’Euclide est équivalent à un autre plus connu sous le nom d’axiome des parallèles, et qui dit que « par un point donné, on peut mener une et une seule parallèle à une droite donnée ». Pendant des siècles, les mathématiciens se sont demandés si l’ajout de cet axiome était réellement indispensable, ou s’il s’agissait en fait d’un théorème que l’on pourrait, en s’y prenant bien, démontrer à partir des autres axiomes. Cela paraissait (tout comme le théorème de Pythagore) tellement évident…

Il aura fallu attendre le XIXe siècle pour que le débat soit tranché : il est possible de construire des géométries dans lesquelles tous les axiomes d’Euclide sont vrais, sauf l’axiome des parallèles. On peut même falsifier cet axiome de deux manières, ce qui donne deux géométries non-euclidiennes.

La première est la géométrie dite elliptique, dont un cas particulier est la géométrie sphérique – celle utilisée par notre marin ou notre pilote. Une droite entre deux points, soit le plus court chemin entre eux, est dans cette géométrie un grand cercle – un cercle centré au centre de le Terre et qui contient ces deux points. Il n’est pas possible de mener une parallèle à une droite à partir d’un point extérieur à celle-ci, car tous les grands cercles se coupent (en deux endroits). A partir de là, tout part en vrille : la somme des angles d’un triangle est supérieure à 180° (le triangle qui relie le Pôle Nord, Libreville et Mompiche contient trois angles droits, soit 270°) ; le théorème de Pythagore est faux et surestime les distances (l’hypoténuse de ce triangle est égale à chacun des deux côtés, car il est à la fois rectangle et équilatéral).

La deuxième géométrie, dite hyperbolique, est plus abstraite, mais on peut se la représenter en imaginant que le monde est une selle de cheval – évasée vers le haut à l’avant et à l’arrière, s’évasant vers le bas sur les deux côtés. Dans cette géométrie, on peut faire passer une infinité de parallèles à une droite par un point extérieur à cette dernière, et la somme des angles d’un triangle est inférieure à 180°. Ici aussi le théorème de Pythagore est faux, mais cette fois il sous-estime les distances. La géométrie hyperbolique est fascinante en soi, car elle permet d’intégrer l’infini dans une représentation finie.

La géométrie plane, en quelque sorte, offre un équilibre parfait entre espace et distance ; les deux s’y accroissent de pair, sans pli ni manque. En géométrie sphérique, on manque d’espace (il n’existe d’ailleurs qu’en quantité finie), et les distances entre deux points augmentent moins vite que ce à quoi on s’attendrait (si on tirait trop, on risquerait de déchirer l’espace). A l’inverse, la géométrie hyperbolique offre de l’espace en trop, qu’il faut bien caser quelque part en plis et replis; les distance entre deux points augmentent plus vite que l’on ne s’y attendrait.

Mais alors, de toutes ces géométries, laquelle est la vraie ? Bonne question. Il n’y a pas de raison particulière pour qu’une de ces géométries plutôt qu’une autre gouverne notre univers à grande échelle ; la théorie de la relativité d’Einstein n’en a cure. Le fait que l’Univers observable paraisse très, très plat est même si troublant qu’une bonne partie (la plus déjantée) de la cosmologie moderne vise à expliquer cela autrement que par une hallucinante coïncidence ou par la volonté divine. Quoi qu’il en soit et sous réserve de future découverte, il semble donc bien que, tout comme l’éléphant de Vialatte est irréfutable, l’hypoténuse soit inéluctable : et c’est ainsi qu’Allah est grand.

Yannick Cras
Le nombre imaginaire