Après vous, je vous en prie…

“Le Nombre imaginaire” ou les mathématiques comme terrain de jeu où l’imagination seule fixe les limites.

Par temps d’inondation, il faut bien que le business continue ; vous vous rendez à un congrès mathématique important et n’êtes pas en avance. Mais voilà : avec toutes ces routes barrées, le trajet habituel vers l’université est impraticable. Vous devez prendre les petites routes, et traverser en particulier une détestable portion encaissée de chemin communal à une voie, habituellement peu fréquentée car elle s’entortille en épingles à cheveux, sans dégagement ni visibilité, sur cinq cents mètres. Manque de chance, les feux qui régulent normalement la circulation alternée sont en panne ! 

Pour tout arranger, au moment où vous arrivez à l’entrée de cette chicane, dont la traversée dure deux minutes, vous distinguez de loin un véhicule qui arrive de l’autre côté et se prépare lui aussi à s’y engager. Vous reconnaissez la vieille guimbarde d’un collègue, fin mathématicien comme vous ; vous avez même le temps d’échanger un appel de phare avec lui – il vous a donc vu – mais vous le perdez immédiatement de vue et ne pouvez pas distinguer s’il s’arrête ou s’engage de son côté sur la route à une voie.

Vous-même vous arrêtez un instant pour réfléchir. Si vous vous engagez tous les deux sur l’unique voie, vous vous y rencontrerez et vous n’aurez pas l’air malin. Même à faible vitesse, sans visibilité il peut y avoir de la tôle froissée, donc constat et perte de temps ; il faudra également que l’un des deux conducteurs fasse marche arrière, ce qui sur cette route n’est pas une mince affaire. Vous sortir de là vous prendrait bien vingt minutes, un temps précieux perdu par les deux. Face à ce risque, il serait plus logique d’attendre que l’autre conducteur passe, puis passer à votre tour ; vous ne perdriez que deux minutes, ce qui n’est pas grave — à moins d’ailleurs que l’autre conducteur, galant ou moins pressé, décide de vous laisser passer la première. Cependant, si vous n’y allez pas et lui non plus, vous risquez aussi de vous retrouver dans la configuration parfaitement idiote où chaque conducteur attend à l’entrée de la route sans oser s’y engager, ce qui peut durer très longtemps !

Comment se sortir de là ? Chaque conducteur a intérêt à ce que l’un d’eux passe rapidement, suivi par l’autre ; que ce soit vous ou lui importe peu (même si, bien entendu, vous savez au fond de vous-même que votre rendez-vous est bien plus essentiel que les occupations futiles de votre collègue, dont on se demande au fond ce qu’il fait là). Quoi qu’il en soit vous devez vraiment éviter de vous retrouver tous deux bloqués au milieu de la route ou d’attendre trop longtemps à l’entrée car là, c’est sûr : vous serez (tous les deux) en retard.

Il est fort regrettable que vous n’ayez pas le numéro de téléphone portable de votre collègue, ce qui vous permettrait de vous entendre ; mais tout n’est pas perdu car vous savez qu’il s’agit d’un brillant mathématicien qui fait preuve, comme vous, d’une rationalité confinant au sublime (ou au pathétique, c’est une question de point de vue). Vous savez donc que lui et vous raisonnerez de manière identique : s’il existe une solution rationnelle à votre problème commun, vous la trouverez tous les deux indépendamment, malgré votre incapacité à communiquer.

Votre objectif, comme le sien, est de passer l’obstacle le plus rapidement possible. Une première option vous apparaît : vous engager dès maintenant, au pire rencontrer l’autre véhicule s’il en fait autant, et perdre ainsi vingt minutes au maximum (ainsi peut-être que votre bonus d’assurance). Le problème est que si vous choisissez cette option, l’autre conducteur – aussi rationnel que vous – en fera autant, donc vous êtes sûre de lui rentrer dedans, ce qui serait tout de même embarrassant. Ne peut-on faire mieux que ça ? 

Vous pouvez choisir d’attendre un peu, bien sûr, mais pas trop longtemps ; disons pas plus de vingt minutes puisque vous avez déjà une solution qui vous fait traverser en vingt minutes maximum. L’autre véhicule, de même, n’attendra pas davantage. Et, bien entendu, attendre tous les deux le dernier moment pour se rencontrer tout de même sur la route serait la pire des solutions !

Vous comprenez ensuite rapidement – et votre collègue raisonnera de même – que vous êtes pour le moment dans une situation parfaitement symétrique, qui rend le choc inéluctable quelle que soit la stratégie choisie si elle ne repose que sur le raisonnement. Si vous voulez faire mieux que vous rentrer dedans, il faut briser cette symétrie, en faisant intervenir un élément extérieur qui décide d’un comportement différent pour vous et pour l’autre, en l’absence de toute possibilité de concertation.

Une option est d’attendre jusqu’à ce qu’un troisième véhicule se présente derrière l’un de vous : la pression sociale (et les coups d’avertisseur) décideront l’un des conducteurs à avancer, et l’autre, en voyant ce même véhicule arriver de l’autre côté, restera certainement sur place. Cet événement débloquerait la situation. Cependant, vous n’avez aucune assurance qu’un véhicule se présentera bientôt.

Il vous reste une possibilité : déclencher l’événement perturbateur vous-même, en vous confiant au hasard. Pourquoi ne pas choisir une heure précise au hasard dans les vingt prochaines minutes et vous engager dans la chicane à ce moment-là ? Si vous établissez que c’est la meilleure stratégie, votre collègue d’en face l’adoptera certainement de son côté.

Supposons donc que vous et votre collègue, chacun de votre côté, choisissiez au hasard un moment pour passer dans les vingt prochaines minutes : trois scénarios peuvent alors se produire. Si votre heure de passage vous fait arriver de l’autre côté de la chicane avant que votre collègue ne l’emprunte, vous traverserez en deux minutes. Si, à l’inverse, votre collègue s’engage pendant que vous attendez et que vous le voyez arriver avant votre heure de départ prévue, vous pourrez vous engager sans attendre davantage, et vous arriverez deux minutes plus tard de l’autre côté. Dans tous les autres cas – si la différence entre vos heures de départ tirées au sort est inférieure au temps de traversée de la chicane, quel que soit le premier à s’y engager – alors vous vous rencontrerez à l’intérieur et y perdrez vingt minutes.

Le brillant esprit que vous êtes effectue rapidement (contrairement au pauvre narrateur, qui lui n’a pas la chance d’être un calculateur prodige) une évaluation du temps moyen que vous mettrez à atteindre l’autre côté de la chicane à partir de maintenant, si vous adoptez cette stratégie. Comment fait-on pour le calculer ? Pour chaque valeur possible de votre heure de départ et de celle de l’autre conducteur, on peut déterminer votre heure d’arrivée. Si par exemple vous partez à 9h35 et votre collègue à 9h39, vous arriverez sans encombre à 9h37 ; mais si vous vous engagez dans la chicane à 9h40 et lui à 9h41, vous n’arriverez qu’à 10h. Imaginons maintenant que votre heure de départ représente une longitude et celle de l’autre conducteur une latitude : votre heure d’arrivée peut être représentée comme une altitude. En déterminant l’altitude de chaque couple possible d’heures de départ (donc de longitude et de latitude), on dessine une montagne sur un territoire carré. Connaissant le volume de cette montagne, il suffit de le diviser par sa surface de base pour en obtenir l’altitude moyenne. Le calcul du volume de la montagne s’appelle une intégrale, il est en l’occurrence assez simple, et vous le faites de tête. Vous obtenez un temps de traversée moyen de treize minutes, ce qui est largement mieux que vingt.

Vous avez donc (et votre collègue très certainement aussi) établi une stratégie meilleure que la précédente. C’est bien, mais on peut faire mieux. En effet vous observez que ce temps moyen d’arrivée varie en fonction du temps maximal que vous êtes prête à attendre, et que vous aviez fixé à 20 minutes. Si ce temps est trop court, les risques de collisions sont plus élevés, ce qui est mauvais pour votre moyenne ; par exemple, si vous tenez absolument à partir dans les 5 minutes et que votre collègue fait la même chose, votre temps d’arrivée moyen sera d’un quart d’heure. À l’inverse, si vous choisissez votre heure de départ sur une période trop longue, vous attendrez pour rien sous prétexte d’éviter les collisions ; un créneau de 30 minutes, par exemple, vous donne aussi un temps d’arrivée moyen d’un quart d’heure.   

Puisque le temps moyen d’arrivée baisse quand on porte la durée du créneau de 5 à 20 minutes, mais remonte ensuite entre 20 minutes et une demi-heure, il doit exister un créneau optimal qui minimisera votre temps d’arrivée moyen. En l’occurrence, si vous choisissez votre heure de départ dans une période de 13 minutes et demie, soit 810 secondes, vous traverserez en moyenne en douze minutes et quelques, ce qui est le meilleur temps possible. Votre alter ego, bien entendu, fera (où a déjà fait) ce même calcul de son côté (toujours de tête, contrairement au pauvre narrateur qui peine à vous suivre). Il ne vous reste donc qu’à tirer chacun au hasard une heure de départ dans les 810 prochaines secondes, et vous devriez vous sortir de là rapidement. Pour ce faire, vous pouvez choisir un contact au hasard sur votre téléphone portable et compter le nombre de secondes représenté par les trois derniers chiffres de son numéro, en changeant de contact si ce nombre est supérieur à 810.

Le miracle, dans cette histoire, c’est que vous avez trouvé une manière de collaborer intelligemment avec l’autre conducteur sans échanger le moindre mot, uniquement en vous appuyant sur l’hypothèse de sa rationalité ! C’est d’ailleurs en s’appuyant sur des arguments du même ordre que les chasseurs d’extra-terrestres du projet SETI écoutent leurs hypothétiques messages sur la bande des 21 cm de l’hydrogène libre, là où une espèce rationnelle suffisamment avancée devrait logiquement les émettre (en admettant qu’une espèce extra-terrestre rationnelle et avancée puisse éprouver le moindre désir de communiquer avec nous, ce qui reste à prouver).

Par ailleurs, vous avez inventé une stratégie probabiliste : là où une décision ferme vous conduirait vers l’impasse, l’adjonction du hasard vous sauve la mise. Le grand mathématicien et économiste John F. Nash, homme d’exception et héros du film éponyme, a théorisé de telles situations et émis à leur sujet un théorème central de la théorie des jeux, ce qui lui valut le toujours mal nommé mais néanmoins prestigieux “prix Nobel d’Économie”.

Mathématicienne d’élite, vous avez tenu tout ce raisonnement en bien moins de temps qu’il n’en faut pour le lire (sans même parler du temps qu’a pris votre chroniqueur pour l’écrire). À votre montre il est presque 9h30. Vous saisissez votre téléphone portable d’une main décidée afin d’y choisir un contact au hasard, quand soudain…

… il vous vient une autre idée. 

Qui, bien entendu, va venir (où est déjà venue) à l’autre conducteur.

Et qui change tout.

Zut. Il va donc falloir y réfléchir encore… ce que nous ferons ensemble, grâce à la magie du temps narratif suspendu,  la semaine prochaine.

Yannick Cras
Le nombre imaginaire

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