Axiomatique

“Le Nombre imaginaire” ou les mathématiques comme terrain de jeu où l’imagination seule fixe les limites.

Au regard des mouvements sociaux en cours et des réponses qu’y apporte le gouvernement, une formule étrange me vient à l’esprit : nous faisons face à une crise axiomatique.

Quèsaco ? Comme on le sait, un axiome, en logique, c’est une assertion supposée vraie et dont on pourra déduire d’autres énoncés appelés théorèmes. Une fois défini un jeu d’axiomes et les règles de déduction que nous entendons lui appliquer, n’importe qui, en théorie, doit en déduire le même ensemble de théorèmes ; et un ordinateur bien programmé pourra vérifier que ce que nous présentons comme un théorème en est bien un.

Je suis régulièrement frappé, en écoutant des politiques de tout bord, de la prégnance le plus souvent inconsciente du système d’axiomes qui nourrit leur discours. Faute de savoir déceler, transcrire en clair et – le cas échéant – remettre en cause ces axiomes, nous sommes souvent impuissants à analyser le discours politique et à le soumettre à critique, car en général – au moins dans le cas d’un esprit politique intelligent – des règles d’une logique implacable sont ensuite utilisées pour les combiner entre eux et en tirer des conséquences apparemment incontournables. Nous n’avons que trop tendance à faire confiance à un raisonnement bien construit, même s’il s’appuie sur une prémisse arbitraire. Certes, nous pouvons relever des raisonnements tendancieux, des faits mal interprétés, voire des mensonges flagrants – mais les plus habiles manipulations sont celles qui vous font adhérer à un raisonnement d’apparence irréprochable, et qui vous font admettre, ne fût-ce qu’à regret, qu’il n’y a pas d’alternative.

C’est bien pour cela, je suppose, que les politiques mettent rarement en avant de manière simple et directe le système de croyance qui sous-tend leur pensée et leur action. Pour la plupart, ils nient de fait l’existence d’un tel système idéologique, et vous rappellent d’un ton outragé à l’objectivité et au pragmatisme dont ils font preuve dans leur raisonnement. Leur prêter une idéologie, c’est les insulter, c’est refuser le débat adulte et responsable, c’est de la démagogie ou pire.

Sauf qu’il s’agit d’un non-sens. Il ne peut y avoir de maths sans axiomes ; il n’y a pas de science physique sans croyance à certains invariants de la nature ; il ne peut pas non plus y avoir de système de pensée sans croyance a priori. Ajoutons immédiatement qu’il n’y a rien de mal à cela, bien au contraire. Sans convictions fortes, il n’y a pas d’action publique. Ce qui s’apparente en revanche à de l’escroquerie, c’est de vouloir déguiser en évidence ce qui ne l’est pas, c’est de cacher – même et avant tout à soi-même – les fondements de la croyance qui gouverne nos actions comme nos raisonnements.

Au bon vieux temps pré-recomposition, nous pouvions au moins nous raccrocher aux axiomes supposés partagés par l’ensemble de la Droite avec un grand D et de la Gauche avec un grand G. Conservatisme social et libéralisation économique d’un côté, l’inverse de l’autre, hop, nous avions notre grille de lecture (totalement fausse mais c’était mieux que rien). Cette grille-là ne fonctionne plus et nous en n’avons pas encore élaboré d’autre. Mais peut-être est-ce une bonne nouvelle ? Peut-être est-ce une occasion de remettre réellement nos croyances et celles des autres au cœur du débat ?

Je rêve d’une émission qui forcerait les acteurs politique, par une dose judicieusement appliquée de maïeutique, à éclaircir leurs axiomes personnels. Nous pourrions alors vérifier la validité des raisonnements qu’ils en déduisent, mais surtout vérifier si nous, citoyens, nous partageons le même système de croyance. Cela pourrait éclairer beaucoup de nos choix.

Comment expliciter un système d’axiomes ? Comme on le ferait en maths : en remontant le raisonnement du théorème à l’axiome, grâce à une chaîne de « pourquoi ». Vous affirmez, disons, que 1/0 n’est aucun nombre connu. Pourquoi ? Parce que si c’était le cas, ce nombre N serait tel que N*0 = 1, par définition de la division. Pourquoi est-ce impossible ? Parce que N*0 = 0 par définition de la multiplication. Et alors ? Alors 0 doit être différent de 1 parce que…. Parce que j’ai un axiome qui l’impose (et si j‘avais oublié de préciser cet axiome, je m’empresse de le faire). CQFD. Le raisonnement est imparable, mais au moins les croyances sur lesquelles il se fonde (que 0 est différent de 1 et que la multiplication et la division obéissent à certaines propriétés) ont été mises en lumière et sont susceptibles d’être discutées. Si je suis, de mon côté, prêt à admettre que 1=0, alors il n’y a aucun problème à poser que 1/0=0 ; c’est une théorie parfaitement cohérente (quoique tout aussi parfaitement inutile).

Il devrait en aller de même en politique. Disons qu’un porte-parole du gouvernement déclare en substance : « Il est de notre devoir de faire baisser le chômage par tous les moyens ». Pourquoi cela ? Cela n’a rien d’évident. On peut imaginer des systèmes sociaux dans lesquels seule une frange de la population travaille, et où la richesse ainsi créée est redistribuée peu ou prou aux oisifs par un mécanisme quelconque. Il doit donc bien y avoir une raison derrière cette affirmation ; une autre affirmation plus forte, causalement bien plus proche du système de croyance sous-jacent. Il s’agit peut-être d’une croyance d’ordre moral : la dignité s’acquiert par le travail rémunéré, et c’est libérer l’individu que de lui donner un travail, même payé au lance-pierre. Il s’agit peut-être d’une croyance portant sur la nature humaine : une personne ne produira de richesse que si elle en retire rétribution et privilèges, sinon elle baissera les bras et la société s’écroulera. De telles affirmations ne peuvent être réfutées ni prouvées : si vous êtes en accord avec elles, alors la cohérence exige que vous en acceptiez les conséquences ; si vous n’y croyez pas, alors vous avez charge de spécifier, vous, ce que vous croyez et d’en tirer les conséquences le plus honnêtement possible – sans oublier de le remettre en cause s’il s’avère que les faits vous donnent tort.

Le même questionnement peut et doit, bien entendu, être appliquée à toute affirmation, surtout à celles qui nous plaisent bien, et en toute priorité à celles que nous émettons nous-mêmes. Allez, je commence. « Il faut taxer le capital », prescrit Picketty, et j’applaudis des deux mains. Pourquoi ? Parce que – et c‘est facile à établir – si le rendement du capital reste supérieur à la croissance, alors sur le long terme les inégalités se creusent. Et alors ? Pourquoi serait-ce un problème ? Est-ce parce qu’une société inégalitaire n’est pas stable ? Ma foi, Picketty n’avancerait sans doute pas cet argument, puisqu’il démontre au contraire que des sociétés extrêmement inégalitaires ont perduré bien plus longtemps que nos démocraties sociales, et que les Trente Glorieuses ont été l’exception et non la norme historique. Mais alors, pourquoi continué-je de penser qu’il faut réduire les inégalités (et donc taxer le capital) ? Sans doute uniquement pour une raison morale. Je pense qu’une société inégalitaire est mauvaise. Je n’ai aucun moyen de justifier cette opinion : j’ai atteint l’un de mes axiomes.

Mais mon Socrate intérieur n’en a pas fini avec moi. Une société inégalitaire est mauvaise, très bien très bien. Est-ce à dire que je crois en une société totalement égalitaire, où la richesse serait uniformément distribuée ? Pas du tout. Ah bon, et pourquoi non ? Parce que je pense profondément qu’une telle société ne serait qu’artificielle et se déliterait rapidement. Pourquoi cela ? Parce que je crois que la nature humaine ne s’y prête pas : les instincts de préservation personnelle et de propriété existent et existeront toujours, aussi fort que nous puissions souhaiter l’inverse. Il y aura toujours établissement de rapports de force et distribution inhomogène des richesses, au moins à petite échelle. Pourquoi dis-je cela ? Pas de réponse. Ici encore je suis coincé : j’ai atteint un autre de mes axiomes, portant sur la nature humaine cette fois.

Si on résume ce que je viens d’apprendre quant à mon propre système de croyances : une société inégalitaire est immorale ; une société égalitaire est impossible. Chouette, on est bien barrés avec ça.

Mais ce n’est pas encore tout. Un des effets les plus pénibles (quoique sans doute bénéfique à terme) de cette remontée aux axiomes, les siens ou ceux des autres, c’est de nous faire toucher du doigt l’étendue de notre ignorance. Je ne crois pas, par exemple, à la théorie du ruissellement, selon laquelle l’accroissement de richesse des riches provoquerait à terme un accroissement de la richesse de tous. OK, et pourquoi n’y crois-tu pas ? Là, un long silence embarrassé s’installe. Je ne suis pas économiste et je n’ai pas lu les textes. Je « crois savoir » que ça ne marche pas au vu des précédents de Reagan et Thatcher mais je serais bien incapable de citer les chiffres qu’il faut. Je peux certes, avec un minimum de crédibilité, remettre en cause le terme de « théorie » utilisé dans ce contexte. Mais quant au fond, ai-je vraiment une réponse à cette question ? Non. J’ai donc atteint, semble-t-il, un de mes axiomes. Mais celui-là est bien trop bas dans la chaîne de raisonnement, bien trop élaboré, bien trop complexe pour pouvoir mériter ce statut ; la rigueur intellectuelle exige de refuser l’adoption de telles constructions artificielles ad-hoc, même si c’est pour sauver la complétude d’un système de pensée. En bref, voilà le signe infaillible qu’il me manque des éléments et que je suis tout bonnement en train de parler de ce que je ne connais pas.

Je peux me consoler en me disant que les théoriciens des particules sont confrontés à des problèmes du même ordre avec le Modèle Standard ; je peux arguer du fait que les tenants de la « théorie » du ruissellement, mis au pied du mur, auraient sans doute la même difficulté que moi à justifier leur croyance ; mais je peux aussi et surtout choisir de me documenter plus avant, et en tout cas d’arrêter de donner mon opinion sur ce point tant que je ne l’aurai pas fait.

Arrivée ici, cette chronique prend tout l’air d’un exercice de masochisme public. Pourtant, lectrice, je t’invite à ton tour à laisser de côté pour un moment ton badge « en marche » ou ta banderole insoumise, et à te demander à ton tour, ce que tu crois vraiment, et pourquoi, et le pourquoi de ce pourquoi ; je t’invite à faire la visite de ton propre jeu d’axiomes, à en goûter l’apparente et délicieuse contradiction, à en constater les variations de relief et de profondeur. Tu n’en sortiras que plus riche, et tu pourras exiger des politiques – ceux que tu soutiens comme ceux que tu exècres – d’en faire de même. Peut-être alors pourrions-nous vraiment débattre.

Yannick Cras
Le nombre imaginaire