La planète Michelin et autres lieux remarquables

“Le Nombre imaginaire” ou les mathématiques comme terrain de jeu où l’imagination seule fixe les limites.

Notre visite des espaces multi-dimensionnels, qui nous a conduits sur route fluide jusqu’à la fin de la Nationale 7, se doit de marquer une étape à l’aire des espaces à deux dimensions. Car il y beaucoup à y voir et à y faire.

Dans un espace à deux dimensions, on se repère par deux coordonnées. Facile, me direz-vous. C’est ce que l’on fait sur une carte au trésor : deux kilomètres à l’ouest, trois au sud ; ou à la bataille navale : B4, torpilleur coulé. Rien de bien excitant ?

Remarquons tout d’abord que des espaces à deux dimensions, il en existe des tas. Une carte au trésor ou un terrain de bataille navale sont des exemples de la même classe, comme une feuille de papier bien plate, infinie s’il le faut (mais ce n’est même pas obligé, car on peut renormaliser le système de coordonnées comme nous l’avons fait pour la Nationale 7).

Mais considérons à présent le cas des coordonnées géographiques sur Terre : latitude et longitude. Rapidement, on constate un premier problème : vu que les longitudes 180° Ouest et 180° Est correspondent au même méridien, nous devons soit accepter qu’un point sur ce méridien ait plusieurs couples de coordonnées, soit s’interdire l’une de ces valeurs ; de fait les géographes semblent utiliser uniquement l’écriture 180°E. Les logiciels de cartographie et de calcul géographiques ont quelques problèmes à cause de cela. Ce méridien n’a pourtant rien de singulier vu de l’espace. Quand on considère les pôles, c’est encore pire : quelle est donc la longitude du pôle Nord ? on est obligé de l’imposer arbitrairement à zéro. Ce point, pourtant, n’a lui non plus rien de bien spécial si l’on laisse de côté la rotation de la Terre : ce n’est pas la forme de la Terre qui est en cause, c’est notre système de coordonnées. Pire encore, si on essaie de « renormaliser » les coordonnées géographiques pour éviter cette singularité-ci, on en introduit une autre ailleurs, et au passage on se heurte constamment à des obstacles. C’est là tout le problème des cartographes : essayer de projeter une sphère sur un plan va nécessairement casser quelque chose ; les territoires seront déformés au-delà de toute reconnaissance ou les surfaces nordiques incroyablement enflées, sans parler des pôles qui deviennent des lignes. On peut certes légitimement parler de l’impérialisme culturel des cartographes (qu’ils fussent romains de l’Empire, chinois antiques ou modernes occidentaux), mais pour leur défense on fera remarquer qu’il est tout bonnement impossible de proposer une représentation de la surface de la terre qui traite tous les points à égalité. Au strict minimum, il faudrait en enlever un.

Voyageons à présent jusqu’à la planète Michelin, qui a la forme d’un pneu, ou disons d’une bouée flottant sur l’eau. Sur cette étrange planète, on peut repérer un point par deux coordonnées entre -180° et 180°. Le premier nombre, la « longitude Michelin », nous indique de quel angle il faut tourner la bouée pour amener ce point en face de nous ; la « latitude » nous donne l’angle que fait ce point avec la verticale. On voit qu’il y a, en quelque sorte, deux fois plus de points sur la planète Michelin que sur Terre, puisque nous y avons aussi besoin de 360° pour représenter les « latitudes ».  Pourtant cette planète ne présente pas les mêmes difficultés de projection que la Terre : tout point y a une « longitude » et une « latitude » bien définis (au problème près des 180° « Est » et « Ouest »). On pourrait se dire, pourtant, que l’existence du trou de la bouée devrait au contraire créer une singularité ; mais ce n’est pas le cas. D’ailleurs, sur Michelin, souffle un vent régulier qui va partout dans la même direction, sans les affreux cyclones terrestres ; et le hérisson torique de Michelin (mascotte de la planète) est toujours bien coiffé, contrairement au nôtre qui rebique. Les cartographes de la planète Michelin, en revanche, sont obligés d’utiliser plus que quatre couleurs pour représenter des pays voisins en couleurs différentes, alors que sur Terre quatre couleurs suffisent toujours ;  et par ailleurs, si vous y attachez votre chien à une laisse déroulante suffisamment longue et l’envoyez se promener en tenant le dérouleur, il pourrait vous être impossible de rembobiner la laisse à son retour sans la détacher de son collier : si votre chien a fait le tour du monde en traversant le « trou », votre laisse sera coincée autour de la planète, ce qui n’arriverait pas chez nous (même avec une très longue laisse). Raisons pour lesquelles la plupart des cartographes, sans parler des propriétaires de chiens, préfèrent en définitive habiter une planète sphérique (faites un sondage autour de vous si vous ne me croyez pas).

Les Michelinois ne devraient pourtant pas se plaindre : s’ils habitaient sur la planète voisine, Moebius, ils s’apercevraient que faire le tour du monde ne vous y laisse pas indemne. En effet, sur cette planète – qui utilise le même système de coordonnées que Michelin – quand vous revenez à votre point de départ, votre gauche et votre droite sont inversées ; vous êtes transformé en votre reflet, et votre chaussure gauche est devenue une chaussure droite. Ce n’est pas très gênant pour les Moebiusiens qui sont absolument symétriques, mais pour les Michelinois c’est traumatisant, même s’il leur suffit de refaire le tour du monde pour réparer les dégâts.

Quittons donc ces planètes bizarres et retrouvons une géographie plus familière à Flatland, le pays à deux dimensions décrit dès le XIXe siècle par Edwin Abbott dans le roman éponyme, et dont un dessin animé plus récent retrace l’histoire. Il ne s’agit plus ici d’une planète sur laquelle vivraient des gens (ou des hérissons), mais d’un espace entier dans lequel tout est plat – gens compris. Une ligne y forme un mur, un rectangle y est une pièce (dans laquelle on ne peut entrer que si l’un des murs est interrompu) ; les habitants y sont en forme de triangle, de carré, voire même de cercle (les 1% du coin, très snobs).

Ce qu’il y a de formidable, quand on regarde Flatland, c’est que nous en voyons absolument tout : rien ne nous est caché. L’intérieur d’une pièce, celui d’un corps : tout nous apparaît d’un coup. Aucun secret ne peut nous être celé, nulle part. Cette omniscience donne un sentiment de divinité…. qui disparaît assez vite quand on se rend compte qu’un hypothétique être à quatre dimensions verrait, lui, absolument tout du monde qui est le nôtre : l’intérieur de nos coffres-forts, de nos chambres à coucher, même celui de nos estomac, projeté sur un écran (à trois dimensions) à son loisir. Je ne sais pas pour vous mais je trouve ça un brin réfrigérant.

À quoi ressemblerait-il, cet être à quatre dimensions venant nous observer aussi indiscrètement ? Pour s’en faire une idée, tâchons d’imaginer comment un habitant de Flatland, disons un scientifique,  pourrait bien nous percevoir. Tout d’abord, tant que nous sommes éloignés de l’écran, cet habitant ne verra rien de rien. Il pourrait peut-être cependant se douter qu’il existe une dimension d’espace supplémentaire à laquelle il n’a pas accès : en effet, si de la lumière – et donc de l’énergie – s’échappe de la surface qu’il occupe pour se diriger vers nous, le savant à deux dimensions (qui a découvert le principe de conservation de l’énergie) pourrait se demander où part cette énergie perdue, et postuler qu’elle quitte son espace. Ce raisonnement n’est pas très éloigné de celui des théoriciens qui postulent l’existence d’autres dimensions spatiales dans notre propre univers.

Pour briser le suspense, approchons-nous de l’écran et traversons-le. Au départ, le savant Flatlandais ne verra qu’un point (l’extrémité du premier de nos cheveux qui traverse l’écran) ; rapidement ce point sera accompagné d’autres, puis remplacé par un cercle irrégulier correspondant à notre tête. Quand nos yeux et nos oreilles traverseront l’écran, le savant pourra faire le tour de cette étrange forme, observant les différences de texture et de couleur selon le côté qu’il observe. Si nous continuons à traverser, les mains levées, l’observateur verra dix petits cercles séparés apparaître de part et d’autre du plus grand, puis se fondre en deux plus gros (nos bras) de part et d’autre d’un  cercle plus petit (notre cou), avec lequel ils fusionneront à hauteur d’épaule ; le cercle restant se divisera en deux (nos jambes) avant de disparaître quand nous aurons traversé. Le Flatlandais cultivé qui nous observe peut-il vraiment comprendre que onze cercles totalement séparés puissent ne constituer qu’une tranche à deux dimensions d’un même organisme ? Peut-être pas plus que nous, si nous voyions soudain des sphéroïdes couleur chair se matérialiser dans l’air, changeant de forme et se fondant les uns dans les autres avant de disparaître. Cette expérience de pensée nous permet en tout cas de compatir avec notre savant à deux dimensions : ça doit ficher une trouille de tous les diables. Évitons le contact trans-dimensionnel non sollicité, et tout le monde ne s’en portera que mieux.

Abbott ne s’est pas donné beaucoup de mal pour décrire de manière réaliste la biologie et la physique de Flatland (quoique les scènes de guerre, dont aucun détail ne nous est épargné, soient assez gore). Le film nous permet cependant de faire quelques observations. Tout d’abord (désolé pour la trivialité de ce détail), un habitant de Flatland ne saurait être muni d’un tube digestif tel que le nôtre : s’il possédait plusieurs orifices, il serait coupé en deux parties distinctes qui ne pourraient en aucune façon communiquer, et tomberait tout bonnement en morceaux. Nous jetterons dès lors un voile pudique sur les habitudes alimentaires, reproductives et hygiéniques des Flatlandais. Nous observerons tout de même à ce sujet que si l’on peut imaginer qu’ils inventent le robinet, la douche leur est interdite (les trous dans le pommeau couperaient ce dernier en morceaux séparés). Il faut également noter que les Flatlandais peuvent porter des bottes ou des pantoufles, mais pas de chaussures à lacet : en fait, l’idée même de faire un nœud leur est totalement inaccessible car ils ne peuvent pas plus faire passer un brin de fil sur ou sous un autre que nous ne pouvons traverser les murs (ce qui est un jeu d’enfant pour un être quadridimensionnel digne de ce nom). Au-delà, un successeur de Abbot, Alexander Dewdney, écrivit cent ans après une suite beaucoup plus détaillée regorgeant de détails sur la physique et la chimie du lieu.

Il se trouve par ailleurs que des mathématiciens et physiciens très sérieux se sont penchés sur la physique d’un univers à deux dimensions. Quelles particules élémentaires pourraient exister dans un tel univers ? Quelles étoiles, quelles planètes (circulaires) ? Quelle chimie ? Les physiciens qui sont allés voir y ont parfois gagné un prix Nobel. Les lois de la physique en deux dimensions sont de fait fort différentes des nôtres. Une univers bi-dimensionnel permet l’existence de nouvelles particules telles que l’Anyon (dont les propriétés quantiques ésotériques échappent totalement à votre serviteur mais sont visiblement très excitantes pour les spécialistes). L’existence de trous noirs y est possible, mais il n’y pas d’ondes gravitationnelles ; la gravité n’y courbe pas l’espace, ce qui semble indiquer que les corps ne s’y attirent pas, ou en tout cas de la même manière ; les forces élémentaires n’y fonctionnent pas comme chez nous. Il est assez clair que la vie telle que nous la connaissons est impossible dans un univers à deux dimensions…

Mais il n’en est pas forcément de même pour la vie telle que nous ne la connaissons pas. Le jeu de la vie, ce passionnant automate cellulaire, n’a besoin que de deux dimensions. Qui sait ce qui pourrait exister dans un tel univers ?

Yannick Cras
Le nombre imaginaire

Edwin Abbott, Flatland, traduit par Philippe Blanchard, Zones Sensibles, 2012.
Alexander Dewdney, Le Planivers, traduit par Nicolas Balbo, Londreys, 1985.