Les mathématiciens, on l’a dit dans ces colonnes, détestent les nombres imposés arbitrairement, et parmi eux le nombre de dimensions de l’espace : trois. Hauteur, largeur, épaisseur (ou bien : latitude, longitude, altitude). Ce diktat de trois dimensions, pas plus pas moins, est insupportable au matheux, qui va immédiatement se faire un plaisir d’imaginer autre chose. Pourquoi pas deux dimensions, ou quatre ? pourquoi pas une infinité ? Pourquoi pas, même, 3/2 ou Pi ? Comme nous le verrons, cette quête est des plus prolifiques.

Donnons-nous un cadre : nous allons placer des « points » dans un « espace », et les y repérer par des « coordonnées ». On n’imposera guère de contraintes quant à ce que peuvent bien être ces points, ces coordonnées et cet espace ; mais nous voulons « coder » l’emplacement d’un point en utilisant une information qui identifie ce point sans ambigüité. Notre premier axiome est que deux points sont identiques si et seulement si toutes leurs coordonnées sont deux à deux égales. Dans notre espace habituel, par exemple, n’importe quel point peut être identifié par trois nombres : si deux points ont les mêmes trois coordonnées spatiales, ils sont égaux.

Commençons notre exploration d’autres espaces par le plus simple : un espace à zéro dimension. Tout point peut y être identifié par zéro nombres, c’est à dire par rien du tout ; nous pouvons identifier un point de cet espace sans apporter aucune information, et cela implique de fait qu’il n’y a au maximum qu’un seul point dans cet espace. Cela peut paraître assez évident, mais le raisonnement formel repose sur une subtilité logique pas si intuitive que cela : tous les éléments de l’ensemble vide respectent n’importe quelle propriété que vous leur imposez. Quand il n’y a pas de coordonnées du tout, alors toutes les coordonnées de deux points sont égales deux à deux, et ces deux points sont donc, par hypothèse, identiques. Bref, à zéro dimension, nous avons un point, c’est tout. Ce n’est pas un espace très excitant, et on s’y sent vite à l’étroit ; nous passerons vite au large.

Passons aux espaces de dimension un. Tout point y est identifié par une seule coordonnée, par exemple un nombre. C’est ce qui se passe sur la mythique Nationale 7, dont le kilomètre zéro se trouve à Notre-Dame de Paris (vous saviez ça, vous ?) et où les connaisseurs vous indiquent qu’au kilomètre 76 se trouve la superbe forteresse de Montargis. Nul besoin d’autre information : vous ignorez peut-être la localisation exacte de Montargis sur une carte de France, mais ce qui est sûr, c’est que vous y arriverez en suivant la 7 et en surveillant votre compteur kilométrique.

Tout cela paraît très simple, mais la Nationale 7 pose tout de même quelques questions embarrassantes. Qu’y a-t-il au kilomètre 997 ? Rien du tout, car la route s’arrête à Menton, au kilomètre 996. Peut-on toujours dire, alors, que la route est un espace à une dimension ? Certes, tout point s’identifie par un nombre, mais l’inverse n’est pas vrai : est-ce un problème ? En particulier, est-ce qu’il y a un point au kilomètre 996 exactement ? Autrement dit, quand on est juste à la fin de la route, est-on encore dessus ou déjà dehors ? Vous pensez peut-être que nous avons vraiment trop de temps libre à tuer si nous nous posons ce genre de questions ; mais il se trouve que les mathématiciens – les topologistes en particulier – sont bien obligé d’y réfléchir. Une nationale 7 « ouverte » (dont le kilomètre 996 ne fait pas partie, mais tous les points avant, si) est un espace très différent d’une nationale 7 « fermée », dont le kilomètre 996 fait encore partie mais rien après.

Si cette singularité du kilomètre 996 nous embête trop, on peut s’en sortir grâce à une astuce appelée renormalisation. Au lieu de bêtement compter les kilomètres, divisons la distance parcourue depuis Paris par la distance restante jusqu’à Menton : ce nombre est unique pour chaque point de la route. Il est égal à zéro à Paris, et monte aussi haut que l’on veut à mesure qu’on approche de Menton. Dans ce cas, à tout nombre positif correspond un point de la route qui n’est pas au kilomètre 996 (mais l’approche aussi près que l’on veut). Si nous décidons que la fin de la route n’en fait pas partie (nous laissons ce point frontière aux Italiens), alors tout point de la route est repéré par un nombre positif ou nul, et tout nombre de ce type identifie un point de la route. Si le point zéro nous pose un problème similaire, nous pouvons employer une astuce du même ordre (par exemple, en calculant le logarithme du nombre précédent) pour que tous les points de la route soient repérés par des nombres arbitraires négatifs et positifs, et que tout nombre représente un point de la route. Il n’y a dès lors plus aucune singularité pour heurter notre intuition. Le point zéro (situé dans ce cas à Chonas l’Amballan, charmant village d’Isère) existe toujours mais n’a plus rien de remarquable, mathématiquement s’entend.

Nous pouvons ainsi éliminer les singularités de la Nationale 7, à condition toutefois d’en exclure le début et la fin. Si nous voulons absolument les inclure, les choses sont plus compliquées et nos coordonnées ne peuvent plus être des nombres usuels.

Si vous trouvez cet exemple un peu capillotracté, demandez-vous ce qu’il en est du temps. Voici encore un espace (si l’on ose dire) à une dimension. Un instant, une date peut toujours s’identifier par un seul nombre – certains ordinateurs utilisent par exemple le nombre de secondes écoulées depuis le 1^er janvier 1970 à zéro heure, tel que mesuré sur le méridien de Greenwich. Or, nous disposons à présent d’une théorie très solide concernant le Big Bang, qui situe le début de l’univers tel que nous le connaissons il y a environ 13 800 000 000 ans. Plutôt que d’adopter un système de datation arbitraire tel que les nôtres, il serait bien tentant (au moins pour les scientifiques) de situer l’origine, le « point zéro » du temps à cet endroit, non ? De fait c’est ce que font les cosmologistes, lesquels nous expliquent par exemple que les premiers atomes d’hydrogène se sont formés 380 000 ans après le Big Bang, combinant les électrons et protons qui se baladaient en toute liberté auparavant, et rendant ainsi l’univers transparent (ce qui nous permet aujourd’hui encore d’observer la toute première lumière émise à l’époque, le fond diffus cosmologique).

Or il se trouve que le Big Bang lui-même échappe complètement aux théories physiques actuelles, car leurs équations prennent des valeurs infinies à ce fameux point zéro. Plus rien ne marche à cet endroit, ni théorie de la relativité, ni physique quantique. Il n’y a pas de raison de croire qu’il existe un temps antérieur au Big Bang ; et de fait les théories ne sont même pas en mesure de nous dire ce qui se passait (ni même s’il se passait quelque chose) avant une minuscule mais non nulle fraction de seconde suivant le Big Bang, appelée temps de Planck. Si bien que, quand on pose l’instant zéro au Big Bang, on se heurte à un problème similaire à celui de la fin de la Nationale 7 : cet instant zéro fait-il partie du temps, ou non ? Et ce temps de Planck ? Existe-t-il du temps entre les deux ? Beaucoup d’opinions existent, mais personne n’en sait rien de rien. Une tentation, pour échapper au dilemme, est de renormaliser pour effacer la singularité, mais pour certains physiciens cela ressemble trop à un « truc » qui cache le problème sous le tapis plutôt que de le regarder en face.

Notre innocente balade sous les platanes de la N7 nous a ainsi amenés aux confins de l’espace et du temps, là où les plus grands esprits scientifiques de notre époque mènent des débats qui échappent au commun des mortels, votre serviteur en tête. Laissons-les discuter, éloignons-nous sur la pointe des pieds, et préparons-nous pour la suite de notre fugue dimensionnelle… à suivre !

Yannick Cras
Le nombre imaginaire