Escaliers d’Escher et pyramides de sable

“Le Nombre imaginaire” ou les mathématiques comme terrain de jeu où l’imagination seule fixe les limites.

Nous ne pouvions pas en finir avec le paisible logarithme, cet égalisateur de nos perceptions, sans évoquer son alter ego agressif, son jumeau contraire, le brûlant Mr Hyde de ce tranquille Dr Jekyll : j’ai nommé l’exponentielle.

Plus que le logarithme, dont elle est pourtant consubstantielle, l’exponentielle nous est familière au moins par l’expression consacrée croissance exponentielle. Ce terme, appliqué tout aussi bien à la population mondiale, à l’économie du loup ou dragon économique du moment ou à la puissance de calcul informatique qu’aux comptes Facebook ou Twitter, suscite autant l’admiration que l’effroi. On le retrouve ad nauseam, non sans raison parfois, mais bien souvent sans guère plus de réflexion.

Il ne paraît donc pas inutile de se renseigner un peu plus avant. L’exponentielle, késaco ?

Tout comme un logarithme, il s’agit d’une fonction qui calcule un nombre à partir d’un autre ; et tout comme les logarithmes, il en existe une infinité. De fait, logarithmes et exponentielles sont intimement liés par paires ; à notre star logarithmique de la semaine dernière, ln, est accolée la star des fonctions exponentielle, notée ex. L’intime et touchante relation entre ces deux fonctions s’exprime ainsi : si je suis ton logarithme, alors tu es mon exponentielle. L’exponentielle est la fonction réciproque du logarithme, dans laquelle argument et image sont inversés. En utilisant ce que nous avons (peut-être) retenu sur le logarithme nous pouvons par exemple constater que e= 1 (puisque ln(1) = 0), que e0,69= 2 environ (puisque ln(2) = 0,69 environ) et que e1,10 = 3 environ. Notons aussi que le nombre e est tel que ln(e) = 1 (car e1=e) ; il vaut 2,78 et des bricoles, et on le retrouve partout au cœur des maths.

Il est intéressant de noter que, si le logarithme compresse nos perceptions sonores, le profil du pavillon d’une enceinte HiFi adopte, lui, une forme exponentielle afin d’optimiser le transfert d’énergie entre la membrane et l’air ambiant, tout comme notre conduit auditif qui fait le travail dans l’autre sens vers notre tympan – autre illustration du rapport intime entre ces deux fonctions.

À l’inverse du logarithme, l’exponentielle ex se calcule pour tout nombre réel mais ne produit que des nombres strictement positifs. Comme lui, c’est une fonction croissante ; mais la comparaison, de ce point de vue, s’arrête là. Certes, la fonction ln croît avec son argument et peut atteindre, si on insiste, n’importe quelle valeur fixée à l’avance ; mais elle croît extrêmement lentement – et d’autant plus lentement qu’elle est élevée : il faut doubler l’argument pour augmenter son logarithme d’une valeur constante. A l’inverse, la fonction ex croît d’autant plus vite qu’elle est élevée ; il se trouve même que sa vitesse de croissance est toujours égale à sa valeur. En conséquence, cette fonction croît effroyablement vite : sa valeur est multipliée par e à chaque fois qu’on ajoute 1 à l’argument.

Je vous présente mon nouveau modèle de formule 1, l’Explonentielle. Elle est certes un peu lente au démarrage : au bout d’une seconde, au premier mètre, elle roule encore au pas, à 3,6 km/h soit un mètre par seconde. McLaren se marre là-bas devant. Mais dès ce moment-là l’Explonentielle adopte une trajectoire exponentielle, et là ça dépote. Les 100 km/h sont atteints un peu plus de trois secondes plus tard ; McLaren est encore devant mais rigole moins. Les 200 km/h sont atteints la seconde suivante (McLaren est grillé), et les 300 km/h moins d’une demi-seconde après (McLaren rentre au stand).

Seul petit problème à résoudre pour l’homologation : à cette vitesse mon bolide subit une accélération de plus de 8G, et ça ne s’arrange pas par la suite. Le pilote est déjà en compote, le véhicule ne vaut guère mieux. Au reste c’est plus une fusée qu’une voiture : au bout de 10 secondes, ayant parcouru 22km, elle volerait à 80 000 km/h. A ce compte-là, elle atteindrait la vitesse de la lumière en moins de 20 secondes si la théorie de la relativité (et plus prosaïquement la désintégration complète du bidule bien avant les 10 secondes) n’y mettaient pas bon ordre.

Vous l’aurez compris : une exponentielle, ça va très vite mais ça ne dure jamais bien longtemps. On atteint toujours ce que l’on appelle un facteur limitant.

Or, s’il n’y a pas plus de modèle Explonentielle que de bar à logariasmo, de nombreux phénomènes naturels suivent en revanche une croissance exponentielle pour un temps. Il s’agit de processus dans lesquels tout ce qui a été produit avant sert à produire les valeurs suivantes. Le plus tristement célèbre est la réaction en chaîne des bombes nucléaires, dans laquelle chaque neutron produit par la fission d’un atome peut lui-même aller casser un autre noyau pour libérer de nouveaux neutrons. Il en existe d’autres ; chacun a son facteur limitant qui remet les choses dans l’ordre, et qu’il est avisé de considérer pour mettre les choses en perspective.

Il y a tout à parier que vous avez deux parents, quatre grands-parents, huit arrière grand-parents. Il s’agit là aussi d’une croissance exponentielle, dite à base 2 (au lieu de e) : le nombre d’ancêtres double à chaque génération. Vous aviez (peut-être) aussi 1024 ancêtres à la dixième génération, sous le règne de Louis le Bien-Aimé. Mais qu’en est-il de vos ancêtres à la quarantième génération, qui ont connu les premiers Capétiens et la bataille de Hastings ? ll vous en faudrait plus de mille milliards… Une immense majorité de vos ancêtres de ce temps le sont à bien plus d’un titre (et ce sont aussi, chers cousins, les miens), voilà tout. Exit l’exponentielle.

Une autre exponentielle, fort nuisible celle-là, apparaît dans la fameuse arnaque dite pyramide de Ponzi, qui vous promet un retour sur investissement défiant toute concurrence ; votre intérêt sera payé par les investissements des suivants… tant qu’il y en a, et il en faut de plus en plus. On ne croirait pas que ce vieux truc fonctionne encore, mais voyez Madoff : son système a duré près de 50 ans ! Des variantes assez tristes en sont aussi ces formations professionnelles prometteuses en termes de débouchés et qui, étude faite, s’avèrent ne guère former que de futurs formateurs, lesquels auront besoin de plus d’élèves jusqu’à la chute… ainsi s’écroulent les pyramides de sable.

Mais nous-mêmes, en tant que société, construisons parfois aussi en pensée nos propres pyramides. Nous avons (même si cela est récent) besoin de croire non seulement au progrès mais à une croissance mesurable en chiffres. Si cette dernière était constante, et toujours mesurée de la même manière, elle représenterait aussi un phénomène exponentiel, quoique avec une base bien plus petite – chaque humain, chaque produit de l’homme représentant un investissement sur le futur pour encore plus de personnes produisant plus de valeur. Mais tel n’est pas et ne peut pas être le cas, dans un monde aux ressources limitées ; la finitude de la planète est notre propre facteur limitant. De fait, il apparaît que pour continuer d’y croire nous redéfinissons régulièrement nos unités de mesure – par exemple en intégrant jusqu’à l’absurde des contributions nouvelles au PIB ; mais combien de temps cela peut-il durer ? Si nous n’y prenons pas garde nous pourrions nous retrouver dans ce dessin d’Escher où l’escalier monte éternellement tout en se rebouclant sur lui-même…

Yannick Cras
Le nombre imaginaire

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