J’ai eu les jetons !

“Le Nombre imaginaire” ou les mathématiques comme terrain de jeu où l’imagination seule fixe les limites.

Juste après avoir publié ma précédente chronique – mais pas avant, ce n’aurait pas été du jeu –, je me suis précipité sur Internet pour vérifier si ma solution à l’énigme des cinq cartes tenait la route ou si j’avais négligé un détail. J’y ai découvert quelques faits intéressants.

Tout d’abord la confirmation que cette solution fonctionne. Je n’ai pas trompé mes lecteurs, ouf ! Et c’est aussi la solution donnée dans la littérature d’origine.

Une autre observation faite à la lecture des forums spécialisés est qu’on y trouve beaucoup de solutions tentantes mais fausses, parfois de manière subtile, et qu’on observe une corrélation notable entre l’arrogance du commentateur (du genre “ce problème se résout en trente secondes”) et la qualité “presque juste mais pas tout-à-fait” de sa solution.

Un intervenant a ainsi proposé une solution conceptuellement plus simple que la mienne, quoique peut-être plus compliquée en pratique ; si la sûreté de soi assez horripilante de l’auteur l’a visiblement empêché de mener son raisonnement à terme avec la rigueur nécessaire, l’idée en reste bonne et le principe peut en être approfondi.

Voici l’idée. La solution que j’ai présentée la semaine dernière exploite le fait qu’il y avait forcément, parmi les cinq cartes choisies, deux cartes au moins de la même couleur. On peut du coup séparer le problème en deux : coder la couleur de la carte secrète en plaçant une carte de la même couleur à gauche de la ligne des quatre cartes découvertes ; puis coder la distance entre cette carte et la carte secrète, en arrangeant les trois cartes restantes dans un ordre qui code un nombre entre un et six.

Mais peut-on utiliser une seul de ces idées au lieu des deux ? Peut-on s’affranchir de la couleur des cartes ? Ou bien, ce qui revient au même, que se passerait-il si au lieu d’un jeu de cartes on utilisait un ensemble de jetons numérotés de 1 à 52, sans indication de couleur ? 

L’idée est alors de placer tous ces jetons (au lieu des cartes d’une couleur donnée) en cercle, par valeur croissante dans le sens des aiguilles d’une montre, avec le jeton 52 juste avant le 1. Considérons alors, dans notre paquet de cinq, les deux jetons ayant la plus grande valeur ; j’appelle A celui qui a la plus grande valeur, et B le deuxième. Si l’on peut passer de A à B ou de B à A en 24 déplacements ou moins dans le sens des aiguilles d’une montre, comme nous l’avons fait pour nos cartes, alors il sera possible de choisir l’un des deux comme jeton secret, l’autre comme indice visible, et de coder la distance entre celui-ci et celui-là en utilisant l’ordre des quatre jetons visibles (qui permet justement de coder 24 possibilités). Le deuxième magicien choisira pour sa part le jeton le plus élevé parmi les quatre visibles, décodera la distance cachée dans l’ordre des jetons, et déterminera ainsi la valeur du jeton secret. C’est l’essence de la solution proposée “en moins de trente secondes” par son auteur. Or c’est une idée à laquelle votre serviteur n’avait tout bonnement pas pensé une seconde. L’idée des deux cartes de la même couleur est tout simplement trop tentante : une fois qu’on l’a en tête, impossible de s’en défaire. Quand on tient en main un marteau, tout ressemble à un clou, et il est sain de se le voir rappeler. 

Il y a cependant un petit problème avec cette solution. S’il est vrai que le jeton secret doit être trouvé parmi 48 possibilités — les 52 jetons dont on retranche les quatre visibles —, le cercle que nous considérons contient bel et bien 52 jetons ; deux jetons diamétralement opposés sur ce cercle, comme le numéro 5 et le numéro 32, sont à une distance de 26 l’un de l’autre, impossible à coder. Devons-nous dès lors abandonner cette idée ?

En fait non, si nous modifions légèrement notre notion de distance. Sur notre cercle, nous repérons les trois jetons visibles de valeur la plus basse et nous décidons qu’un déplacement peut passer gratuitement au-dessus d’un de ces jetons, en l’ignorant. En d’autres termes, nous considérons que la distance entre un jeton et un autre mesure le nombre d’intervalles à franchir dans le sens des aiguilles d’une montre pour passer de l’un à l’autre, dont nous soustrayons le nombre de jetons visibles de valeur inférieure situés sur ce chemin. La somme des “distances” de A vers B et de B vers A sera donc toujours de 52 – 3 = 49, ce qui implique qu’une de ces distances sera inférieure ou égale à 24.

On peut de plus observer que les trois jetons visible de plus faible valeur seront en fait toujours placés sur l’arc de cercle qui relie A à B (il n’y en a pas sur l’arc de cercle reliant B à A, puisque par définition le seul jeton visible de plus grande valeur que B est A lui-même).

Nous obtenons donc un autre solution au problème de cinq cartes ou des cinq jetons, qui ne fait pas intervenir la couleur. Le premier magicien détermine les deux jetons (ou cartes) A et B de valeur la plus élevée parmi les cinq choisis par le spectateur. Si la différence de valeur entre A et B est inférieure à 24, le magicien rend A au spectateur, ajoute B aux trois autre jetons, et code cette distance de B vers A par l’ordre des quatre jetons. Sinon, il calcule la “distance” de A vers B qui est égale à B+52-A-3, soit B+49-A ; celle-ci est nécessairement inférieure ou égale à 24. Il rend B au spectateur, ajoute A au tas de jetons visibles, et ordonne ces derniers pour coder cette valeur. 

Le deuxième magicien, pour sa part, décode la valeur codée dans l’ordre des jetons, puis l’ajoute à la valeur du jeton le plus élevé parmi les quatre visibles. Si le total dépasse 52 , il en retire 49 (52 moins 3) et cela lui donne la valeur du jeton secret.

Cette solution est conceptuellement plus simple et plus générale que la précédente, puisqu’elle s’applique aussi bien à des jetons qu’à des cartes ; en revanche elle est sans doute plus difficile à appliquer dans la pratique à un jeu de cartes, car il est plus compliqué de déterminer le nombre entre 1 et 24 codé par un arrangement de 4 cartes que le nombre entre 1 et 6 codé par un arrangement de 3 cartes, ce qui explique peut-être que les magiciens semblent préférer la première solution. Reste que comme souvent, une solution même élégante peut être encore simplifiée, ce qui est une leçon à ne jamais oublier (une autre étant que “c’est évident” fournit rarement un argument très solide).

Internet nous révèle enfin que ce tour de cartes, comme beaucoup d’autres, a été étudié par l’inimitable mathématicien Martin Gardner, que nous rencontrerons, j’espère avec le plus grand plaisir, la semaine prochaine.

Yannick Cras
Le nombre imaginaire

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