On y va, oui ? J’travaille, moi !

“Le Nombre imaginaire” ou les mathématiques comme terrain de jeu où l’imagination seule fixe les limites.

Nous vous avons laissée la semaine dernière, le doigt sur votre téléphone, prête à appliquer la brillante stratégie aléatoire symétrique de votre invention qui ouvrira cette maudite route à vous comme à votre brillant collègue d’en face (à moins que ce ne soit à ce dernier que je m’adresse, d’ailleurs ? Finalement, qui est qui dans cette histoire ?). Il ne vous reste qu’à choisir au hasard une heure dans les treize prochaines minutes et demie, puis à vous engager dans la chicane le moment venu ou si vous voyez l’autre véhicule en sortir.

C’est alors que vous vient à l’esprit une nouvelle idée – qu’en tant que rationaliste vous vous devez d’explorer, d’autant plus que votre alter ego en fera (ou a en déjà fait) de même : votre stratégie n’est peut-être pas la meilleure possible pour minimiser votre temps moyen d’arrivée. 

En effet, si le hasard vous fait attendre plus de onze minutes et demie et que vous ne voyez toujours pas arriver l’autre voiture au moment où vous devez vous engager dans la chicane, vous saurez alors avec certitude que l’autre conducteur, qui doit lui aussi s’y engager dans deux minutes au plus tard, y roule déjà ou y pénètrera au cours des deux minutes que vous mettrez à la traverser. Il serait alors idiot de foncer l’un sur l’autre, sachant que vous vous rencontrerez et perdrez vingt minutes de plus. Que devriez-vous faire à la place, si cela se produit ? Eh bien, tout simplement recommencer l’opération, en tirant au sort un nouveau temps d’attente, qui en moyenne vous sortira d’affaire sans collision, en douze minutes additionnelles plutôt que vingt. Bien entendu, si ce nouveau temps d’attente est également supérieur à onze minutes et demie, vous pourriez vous retrouver dans la même situation…

Cette solution, contrairement à la précédente, ne vous garantit donc plus un temps de traversée maximal (vous pourriez jouer de malchance et tirer chacun un temps d’attente supérieur à 11 minutes et demie plusieurs fois de suite), mais elle abaisse d’une dizaine de secondes le temps moyen d’arrivée.

Cela vous inspire surtout un nouveau cours de pensée. Peut-être serait-il intéressant de tirer des nombres au hasard plus souvent, sur une échelle plus petite ? Vous augmenteriez le risque de collision, mais pourriez plus souvent exploiter l’astuce précédente, qui justement évite une collision prévisible.

Une nouvelle stratégie se dessine alors : plutôt que tirer un horaire de départ au sort, tirez donc à pile ou face. Engagez-vous dans la chicane si vous tirez un pile ; sinon attendez un certain laps de temps et faites un autre tirage. Vous vous engagerez ainsi dès que vous tirerez pile ou que vous verrez l’autre conducteur émerger de la chicane. Voici une stratégie simple et naturelle, qui viendra certainement à l’esprit de votre collègue.

Quel intervalle choisir entre deux tirages ? Un choix naturel vous vient à l’esprit : le temps de 2 minutes nécessaire à la traversée de la chicane. Cette durée offre également l’avantage de simplifier les calculs, raison pour laquelle votre collègue la privilégiera sans doute comme vous.

Il vous faut calculer le temps moyen d’arrivée offert par cette stratégie. Vous et votre collègue allez tirer chacun une pièce. Si vous tirez pile et lui aussi, vous vous engagerez tous deux et vous rencontrerez dans la chicane, où vous perdrez vingt minutes. Si vous tirez pile et lui face, vous vous engagez et sortirez de la chicane dans deux minutes. Si vous tirez face et lui pile, vous le verrez sortir de la chicane dans deux minutes, et vous mettrez deux minutes de plus à traverser. Enfin, si vous tirez tous les deux face, vous attendrez deux minutes et recommencerez la procédure ; votre temps d’arrivée sera donc le temps moyen d’arrivée (que vous cherchez à déterminer) augmenté de deux minutes d’attente. Remarquons que le temps d’arrivée moyen est ici ce que l’on appelle un point fixe : le calcul de sa valeur dépend d’elle-même. Ça paraît impressionnant comme ça, mais en fait on y arrive avec des maths niveau collège et vous trouvez un temps moyen de neuf secondes un tiers, ce qui est bien meilleur que toutes les stratégies précédentes. Bravo ! Votre collègue se frotte certainement les mains comme vous.

Cette fois c’est bon, hein ? On y va ? Je vous vois hésiter – vous n’allez tout de même pas me dire qu’on peut faire encore mieux ? Eh bien si, et la mathématicienne rationnelle que vous êtes y pensera tout comme le copain d’en face. Nous avons supposé que le choix entre s’engager et attendre se décidait d’un lancer de pièce, avec une chance sur deux de choisir l’un ou l’autre. Mais si vous (et l’autre conducteur) vous autorisez à utiliser une autre probabilité pour décider de tenter ou non votre chance, cela changera votre temps de passage moyen (et le sien, qui est le même). Si vous vous engagez (et lui aussi) à coup sûr, votre temps de traversée sera de 20 minutes ; si vous y allez une fois sur deux sur lancer d’une pièce, ce temps descend vers 9 minutes comme nous l’avons vu ; mais si vous décidez de ne vous engager que dans le rare cas (une chance sur 16) où vous tirez quatre piles sur quatre lancers de pièces consécutifs, votre temps moyen remonte vers 18 minutes.

Il existe donc une valeur de la probabilité de s’engager pour laquelle le temps moyen de traversée est minimal. Cette probabilité est de l’ordre de 29%, et elle vous sort d’affaire en un peu moins de 8 minutes. Pour exploiter ce résultat, il vous suffit de regarder le numéro de téléphone d’un contact pris au hasard ; vous vous engagerez si les deux derniers chiffres forment un nombre entre 0 et 28, sinon vous recommencerez dans 2 minutes à moins que l’autre voiture n’arrive. Dans l’hypothèse où votre vie sociale est trop limitée (après tout, nous parlons ici de mathématiciens), vous pouvez toujours lancer deux pièces et vous engager si vous obtenez deux piles ; vous ne serez pas loin du compte.

Enfin, on y est… mais le doute vous reprend : avez-vous fait le tour du sujet ? Serait-il possible d‘améliorer encore les choses, en choisissant un autre intervalle entre deux lancers de pièce ? Voire un protocole complètement différent ? Quelle honte se serait si votre collègue y pensait et pas vous !

Vous en êtes là de vos réflexions quand vous réalisez soudain que vous n’êtes plus seule : quelqu’un tape sur votre vitre, apparemment depuis un bon moment, pour attirer votre attention. Vous entendez alors un concert de klaxons furieux, et remarquez enfin la longue file de voitures qui attend derrière vous…

… cependant que sort de la chicane, en souriant, le boulanger du coin que vous aviez depuis le début confondu avec votre collègue et qui ne s’est, lui, pas cassé la tête bien longtemps. On ne peut pas gagner à tous les coups.

Yannick Cras
Le nombre imaginaire

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