Tout comme la nature, les mathématiciens ont horreur du vide, du trou, de la pièce manquante. L’esthétique, la morale presque, commandent une théorie complète, sans surprise, sans hiatus. Si un formalisme mathématique permet de poser une question, elle devrait avoir une réponse ; toute opération devrait fournir un résultat. Sinon il manque quelque chose, et ce manque vous gratte jusqu’au sang ; il faut absolument compléter la théorie pour le combler. Il ne s’agit pas ici d’un principe ni d’une vérité : simplement d’un réflexe, d’un tropisme, d’une compulsion.

Salutaire et prolifique bien souvent. Puisqu’on peut calculer la différence entre deux entiers naturels, que se passe-t-il si le premier est plus petit que le second ? Que vaut 2-5 ? Que faut-il ajouter à la théorie pour que cette expression ait même un sens ? Bing : vous venez d’inventer les entiers relatifs, et du même coup la dette. Il a ensuite fallu que quelqu’un se demande comment extraire la racine carré d’un nombre négatif : combien vaut la racine carrée de -1 ? Que faut-il ajouter à la théorie pour que cette expression ait même un sens ? Et hop : vous voici avec les nombres complexes. Puisqu’on peut élever un nombre à une puissance entière pour calculer son carré ou son cube, qu’est-ce que cela voudrait dire de l’élever à une puissance quelconque ? Que vaut 3 élevé à la puissance 2,35 ? Et voici l’exponentielle. Au fait, l’exponentielle d’un nombre complexe, c’est quoi ? Une redécouverte de la trigonométrie. Un espace géométrique a une dimension (une ligne), deux (une surface) ou trois (un volume) : et si on avait des espaces de dimensions intermédiaires ? Pouf, vous venez d’inventer les fractales.

Les exemples de ce type sont légion. Si vous inventez un langage, le mathématicien vous demandera si toutes les expressions qu’il permet de construire ont un sens ; et il vous embêtera jusqu’à ce que ce soit le cas, ce qui peut vous conduire à inventer une classe de concepts entièrement nouveaux.

Parfois, cependant, cela ne marche pas. Par exemple, que peut bien valoir zéro divisé par zéro ? On nous explique au collège que cela n’a pas de sens, que l’on peut diviser un nombre par n’importe quoi sauf zéro, mais c’est très frustrant ; voyons, ce ne peut pas être si compliqué que ça d’arranger le coup, non ?

Allez, on essaie. Personnellement je propose que zéro divisé par zéro vaille un. Après tout, 2/2 = 1 ; 0.5/05 = 1 ; 0.01/0.01 = 1… ça a l’air de marcher pour tous les nombres : diviser un nombre par lui-même donne un. Il est presque impossible de résister à l’envie de compléter la théorie ; nous décrétons donc que 0/0 = 1.

Est-ce compatible avec ce que nous savons de la division des autres nombres ? Par exemple, on sait que A/B * B = A ; 2/3 * 3 = 2. Ici, 0/0 * 0 = 1 *0 = 0, ce qui marche encore ; cela s’annonce plutôt bien. De même, on sait que (A*B) / (A*C) = B/C – c’est ce qui permet de simplifier les fractions ; par exemple 15/12 = (3*5)/(3*4) = 5/4. Cela marche encore si B et C valent zéro : (A*0)/(A*0) = 0/0 = 1. Chouette !

Oui, mais il y a aussi la formule qui dit que pour multiplier une fraction par un nombre, il suffit de multiplier son numérateur (le nombre « en haut » de la fraction) par ce nombre. Par exemple, 2 * (8/3) = (2*8)/3 = 16/3. Et là, ça coince. En effet : 2 = 2 * 1 = 2 * (0/0) = (2*0)/0 = 0/0 = 1. Aïe, nous venons de prouver que 2 = 1. Et ce qui est vrai pour 2 est vrai pour n’importe quel nombre N ; on peut prouver que N = N*1 = N * (0/0) = (N*0)/0 = 0/0 = 1. Notre système numérique s’effondre : tous les nombres sont égaux entre eux et rien n’a plus d’intérêt. Ou alors il faut arrêter de croire que N*1 = N, ou peut-être que N*0 = 0 : mais alors on casse tout ce qu’on avait avant. Pas bon, cela !

Pire encore, le même raisonnement s’appliquerait quelle que soit la valeur choisie pour 0/0 si elle n’est pas nulle. Notons V cette valeur, et prenons un nombre N quelconque. V = (0/0) = (N*0)/0 = N*(0/0) = N*V, donc la seule possibilité est V = 0.

Notre dernier espoir d’imposer une valeur à 0/0 avec un nombre existant est donc de poser 0/0 = 0. Dans ce cas, 1/0 = 1/0/0 = 1*0/0 = 0/0 = 0. Mais (1/0) * 0 devrait aussi être égal à 1, par définition même de la division ; donc 1 = 0. Caramba, encore raté.

Bon, puisque c’est comme ça, allons-y carrément et inventons un nouveau nombre qui vaille 0/0 par définition. Pourquoi pas ? On a bien inventé un nombre négatif, -1, pour noter la différence (après tout totalement fictive) entre zéro et un; et on a bien inventé un nombre bien nommé imaginaire, i, avec pour seule définition le fait que son carré vaut -1. Allez hop, nous inventons le nombre TETATOTO, qui par définition vaut 0/0. Ce n’est aucun nombre connu, mais après tout c’était aussi le cas de -1 ou i avant qu’on les invente.

Cool, la médaille Fields est à portée de main ; mais avant de publier notre œuvre pour la postérité, étudions un peu tout de même les propriétés de notre beau nombre tout neuf. TETATOTO = 0/0, donc TETATOTO * 0 = 0, ce qui ne nous étonnera pas. Un truc intéressant : TETATOTO / 0 = (0/0)/0 = 0*0/0 = TETATOTO (car A/B/C = A*C/B). Mais TETATOTO / TETATOTO = TETATOTO / (0/0) = (TETATOTO * 0)/0 = 0/0 = TETATOTO. Par ailleurs, TETATOTO / TETATOTO = 1 car TETATOTO * 1 = TETATOTO. Donc TETATOTO = 1. Ah mais zut, on a déjà établi que ça ne marchait pas.

Rien à faire : non seulement aucun nombre connu ne fait l’affaire, mais il n’y a pas moyen d’enrichir notre système numérique avec un nouveau nombre sans casser notre système d’opérations arithmétiques au point de lui enlever tout intérêt. Il faut renoncer.

Le mathématicien, cependant, se console en identifiant une classe très large et abstraite d’objets mathématiques ayant une structure similaire à celle des nombres avec une opération d’ « addition », un « zéro » (qui laisse tout nombre inchangé quand on l’additionne à lui, et que l’on appelle pour cela élément neutre), une « multiplication » , un « un » (élément neutre de la multiplication). On demande à ces opérations de respecter certaines propriétés naturelles, par exemple que (A+B)+C = A + (B+C), ou que A*(B+C) == A*B + A*C.

On appelle anneau unitaire (ça fait classe, hein ?) une telle structure, et on en retrouve partout dans les maths. En logique, par exemple, le connecteur OU joue le rôle d’une addition (FAUX est son élément neutre, et joue donc le rôle de zéro), et le connecteur ET joue le rôle d’une multiplication (VRAI est son élément neutre et joue le rôle de 1). On observe que « zéro » joue un rôle particulier, car A ET FAUX vaut FAUX quelle que soit la proposition A, tout comme N * 0 = 0 pour tout nombre N.

La même vérité existe dans tous les anneaux : le  zéro est y est « absorbant » pour la multiplication, car il mange tous les éléments de l’anneau par lequel on le multiplie ; on ne peut pas trouver de nombre « inverse » de zéro, ni donner un sens à une division qui l’utilise. Le trou de l’anneau, c’est le trou dans le zéro, et il faut vivre avec. 

Yannick Cras
Le nombre imaginaire