Incroyable destin que celui de Marie Jean Antoine Nicolas de Caritat, marquis de Condorcet : issu d’un régime dont il accompagna la chute, promoteur d’un autre dont il finit victime. Homme des Lumières, mathématicien, philosophe et politicien, il fut inspecteur général de la Monnaie auprès du ministre Turgot, puis conseiller municipal de Paris, député, mais aussi secrétaire de l’Académie des Sciences puis de l’Académie Française. Parmi bien d’autres faits remarquables il inspira l’établissement du système métrique, promut l’arithmétique politique – ancêtre des statistiques –, milita pour le vote des femmes et s’opposa à la peine de mort (se contentant de suggérer pour Louis XVI une peine de galère à vie, sort guère plus enviable il faut le reconnaître…). Ce Girondin paya au prix fort son opposition aux Montagnards de Robespierre : arrêté en mars 1794, il mourut en prison quelques jours après. Un siècle à l’avance, son génie polymorphe et son engagement citoyen préfiguraient ceux de Russel en Angleterre.

Parmi ses contributions aux mathématiques, il en est une qui reste d’actualité en cette période d’incertitude électorale : il fut le premier à constater ce qu’on appelle le paradoxe de Condorcet, qui établit l’impossibilité pour une société d’établir un classement cohérent entre plusieurs options – par exemple des candidats à la présidence – à partir des préférences individuelles de ses membres. Imaginons, par exemple, que chaque citoyen soit invité à classer trois candidats par ordre de préférence ; mon choix pourrait être Albert puis Bérénice puis Clovis, et le vôtre Bérénice, Clovis puis Albert. Si l’on mesure, pour chaque paire de candidats, lequel est placé avant l’autre dans le plus grand nombre de cas, on peut en déduire une préférence globale : ainsi, une majorité de citoyens peut préférer Clovis à Albert. Hélas,x comme Condorcet le montra, il est tout à fait possible que cette même majorité préfère aussi Albert à Bérénice… et Bérénice à Clovis ! Autrement dit, dans son ensemble, la société exprimerait un ordre de préférence circulaire dont il est difficile de faire quoi que ce soit.

Ce paradoxe n’est pas que théorique, puisque le scrutin uninominal majoritaire à deux tours peut effectivement faire arriver en troisième position un candidat capable de battre en duel n’importe lequel des deux finalistes. Vous pourriez donc considérer que cela donne simplement un argument de plus aux tenants de la proportionnelle. Hélas, nous ne nous en tirerons pas comme ça : en 1951, l’économiste Kenneth Arrow – lequel aurait été lauréat du Prix Nobel d’économie en 1972 s’il existait un authentique prix Nobel d’économie, ce qui, comme il est bon de le rappeler, n’est pas le cas – Arrow, donc, démontra un théorème plus complet et plus inquiétant. En substance, ce théorème explique qu’il est impossible de trouver un système traduisant les préférences individuelles en choix collectif qui respecte en intégralité une liste de critères simples et qu’on attendrait de tout système démocratique.

Quels sont ces critères ? D’abord, on veut effectivement obtenir un choix global quelles que soient les préférences individuelles ; on ne peut garder une élection indécise, par exemple. Ensuite, on élimine la dictature : le choix global ne peut refléter le choix d’un individu indépendamment de ceux des autres. Vient ensuite le respect de l’unanimité : si tous les individus préfèrent un certain candidat à un certain autre, le choix collectif doit aussi affirmer cette préférence. Enfin, le classement relatif final entre deux candidats ne devrait dépendre que de la manière dont les individus comparent ces deux candidats, indépendamment de ce qu’ils pensent de tous les autres.

Les théorèmes d’impossibilité sont assez nombreux en mathématiques ; certains sont des stars dont la démonstration a fait la une des journaux. Ils sont frustrants par essence : ce sont comme des couperets à rêve. Non, vous ne tracerez pas un carré ayant la même surface qu’un cercle avec la règle et le compas. Vous ne trouverez pas d’équation algébrique calculant π. Vous ne pourrez pas trouver d’entier dont le cube soit la somme des cubes de deux autres entiers non nuls. Vous ne caserez pas les clubs de Russel dans l’hôtel Aleph. Et vous n’inventerez pas de système de vote qui satisfasse tous les critères ci-dessus. Point final.

Dont acte. En l’occurrence, Arrow a l’air ici de porter un sale coup à la notion de choix démocratique. Comment s’en sortir en pratique ? Dans les faits, on se passe souvent de la dernière propriété exigée : le classement indépendant des candidats. On peut le justifier en constatant que notre nature humaine n’est pas si rationnelle que ça, et que nous faisons effectivement intervenir dans nos choix des critères qui ne devraient pas les influencer. La présence de Bérénice peut influencer nos perceptions relatives d’Albert et Clovis ; que notre société reflète cette irrationalité n’est peut-être qu’un moindre mal.

Il existe, cependant, un nombre impressionnant de critères proposés pour rendre compte des qualités d’un système électoral, et de procédures de vote proposées pour en privilégier certains. Ainsi, deux chercheurs de l’École Polytechnique ont proposé il y a quelques années un système dit du jugement majoritaire, qui élimine les problèmes liés au scrutin majoritaire. Plutôt que de choisir entre plusieurs candidats, chaque électeur attribue une note indépendante à chacun d’eux – par exemple “à rejeter”, “passable”, “assez bien”, “bien” ou “excellent”. On cherche ensuite, pour chaque candidat, sa note médiane, c’est à dire la plus haute note avec laquelle 50% des votants au moins seraient d’accord. Si par exemple vous pensez qu’Albert est assez bon et que je le trouve excellent, je suis donc seul à le juger excellent mais nous sommes deux à le juger, au moins, assez bon. En descendant les notes et en s’arrêtant dès qu’une majorité de votants accepte au moins cette note pour Albert, on trouve sa note médiane. Il suffit ensuite de choisir le candidat avec la note médiane la plus haute (une procédure du même ordre permet de départager d’éventuels ex-æquo).

Ce système promeut l’évaluation indépendante des candidats plutôt que leur comparaison deux à deux, et s’affranchit ainsi à sa manière des problèmes soulevés par Condorcet et Arrow ; il est aussi d’après les auteurs très résistant au vote tactique et encourage la sincérité des électeurs (il n’y a aucun avantage à ne pas dire ce qu’on pense réellement d’un candidat dans le but d’en voir élire un autre). Le prix imposé par les fourches caudines d’Arrow, c’est que ce système pourrait ne pas élire un candidat qui serait préféré par au moins 50% des électeurs à chacun des autres (il élirait en revanche un candidat qui serait préféré à tous les autres par au moins 50% des électeurs, ce qui n’est pas du tout la même chose !). Cependant, il évite la bipolarisation, l’effet d’une élimination brutale à quelques voix près, et surtout… met l’accent sur les qualités individuelles des candidats, ce qui est après tout l’essentiel. Malgré les débats de spécialistes dont ce système est encore l’objet, et malgré la complexité prévisible de sa mise en œuvre (car chaque Français devrait évaluer tous les candidats au lieu de simplement glisser un bulletin dans l’urne), ne serait-il pas sain pour notre démocratie que l’on puisse juger tous les candidats “à rejeter” plutôt que de s’abstenir ? Et pourrions-nous rêver d’une République dans laquelle un président élu sur une mention “passable” serait constitutionnellement invité à ne pas trop faire le malin ?

S’il est un sujet lié aux maths auquel le citoyen devrait s’intéresser, c’est bien celui-là !

Yannick Cras
Le nombre imaginaire

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