On pourrait croire, vue la pointilleuse précision des règles d’inférence logique que nous avons effleurées, que ces dernières forment un corpus universel, chéri, partagé et peaufiné par des générations de mathématiciens, et qu’elles imposent un consensus hors duquel point n’est de salut.

Rien n’est en fait moins vrai. De même que trois croyants donnent souvent deux églises et un schisme, l’esprit humain (dont les logiciens partagent les défauts comme tout un chacun) ne peut s’empêcher (si on le voit positivement) d’aller voir ailleurs et de remettre en cause les règles établies, ou (si l’on est plus cynique) de pinailler sur les détails et de chercher à faire son malin.

Quoi que puisse être votre opinion là-dessus, force est de constater que les logiciens font montre d’imagination et nous ont inventé, à travers les années, tout un bestiaire de manières différentes de raisonner : un zoo logique, de fait.

On peut pourtant se demander quelle liberté est laissée au logicien. Un bon nombre de règles semblent évidentes au-delà de tout doute raisonnable. Par exemple le fait qu’une affirmation ne peut pas être vraie et fausse en même temps (c’est ce qu’on appelle l’axiome de non-contradiction), ou le modus ponens – il est difficile d’imaginer une logique par laquelle, ayant admis A et A⇒B, on refuserait d’en déduire B.

Il reste cependant du champ libre. Par exemple, certaines formes de logique regardent avec suspicion la fameuse preuve par l’absurde. Vous vous en souviendrez peut-être : pour prouver une propriété, je suppose sa négation, et j’en déduis une contradiction. Ma propriété, qui doit être vraie ou fausse, ne peut ainsi pas être fausse et elle est donc nécessairement vraie.

Un exemple célèbre de raisonnement par l‘absurde vise à démontrer que la racine de deux – la longueur de la diagonale d’un carré d’une unité de côté – est irrationnel, c’est—à-dire ne peut pas s’écrire comme une fraction (une expression de la forme P/Q où P et Q sont deux entiers). C’est un résultat important, car il prouve que certains nombres ne peuvent pas servir de numéro de chambre à l’hôtel Aleph.

Pour le démontrer, je suppose que je peux écrire √2 comme le rapport de deux entiers P et Q. Remarquons que si je trouve une fraction P/Q, les fractions 2*P/2*Q, 3*P/3*Q .  etc., conviendront aussi * ; c’est pourquoi j’impose que P soit le plus petit nombre possible pour une telle fraction.

Par définition, si je porte P/Q au carré je dois obtenir (P/Q)*(P/Q) = 2. J’en déduis que P² = 2Q². Cela signifie que P² est un nombre pair.

Supposons  maintenant que P soit un nombre impair. Dans ce cas , il existe un autre nombre K tel que P = 2K + 1 ; P² = (2K + 1)² = 4K² + 4K + 1 = 4(K² + K) + 1. Or un multiple de 4 auquel on ajoute 1 est toujours un nombre impair. Cela voudrait donc dire que P² est impair, ce qui est contraire à ce que nous venons d’établir. Un premier exemple de raisonnement par l’absurde s’applique : nous voulons que P² soit pair, et si l’on suppose que P lui-même est impair ce n’est pas possible ;   il faut donc que P soit pair.

Mais si P est pair, alors il existe un nombre N tel que P = 2N, et on peut donc écrire que 4N² = P² = 2Q², donc Q² = 2N².

Q² est donc également un nombre pair ; on peut appliquer à Q le même raisonnement que plus haut et en déduire que Q, également, est pair. Il existe donc un nombre M tel que Q=2M, et je constate que √2 = P/Q = 2N/2M = N/M.

Mais cela heurte notre hypothèse de départ selon laquelle P était le plus petit nombre possible au numérateur d’une fraction. J’aboutis à une contradiction, et le raisonnement par l’absurde me conduit à conclure qu’en fait, il est impossible de représenter √2 par une fraction quelle qu’elle soit.

Raisonnement inattaquable ? Oui, pour la majorité des mathématiciens ; mais il existe une forme de logique, dite intuitionniste, qui se refuse à un tel raisonnement. En fait cette logique refuse l’axiome du tiers exclus, qui dit que si une affirmation n’est pas fausse alors elle est vraie. Elle refuse aussi l’utilisation de la double négation; prouver la négation de la négation d’un fait, pour elle, n’est pas prouver ce fait. 

Il ne s’agit pas ici de l’élucubration d’un illuminé ou d’une note de bas de page. La logique intuitionniste est un courant important dans l’histoire des mathématiques, qui a compté parmi ses fondateurs des mathématiciens aussi prestigieux que Kurt Gödel et Andreï Kolmogorov. Pourquoi, peut-on se demander, ces brillants esprits se sont-ils délibérément privés d’outils de démonstration que la logique classique admet sans sourciller ?

L’idée, telle que votre chroniqueur la comprend et donc sous toute réserve, est qu’une démonstration devrait aussi correspondre à un calcul permettant de construire une preuve explicite de ce qu’on avance. Ce que dit la logique intuitionniste, c’est qu’il ne suffit pas, par exemple, de démontrer l’existence d’un concept, par exemple un nombre, vérifiant une certaine propriété : la démonstration devrait produire ce nombre explicitement. On touche ici à des liens profonds, aussi bien philosophiques que mathématiques, entre la preuve d’un énoncé et la production d’un calcul. Ces liens sont à l’œuvre dans certaines approches de la programmation informatique, pour lesquelles opérer un calcul et prouver un théorème sont une seule et même chose. De fait, la notion de vérité de la logique classique est ici remplacée par une notion de prouvabilité constructive : on s’intéresse aux formules pour lesquelles on peut trouver une preuve explicite. Cette notion est plus exigeante. Pour la logique intuitionniste, la démonstration que nous avons donnée plus haut ne prouve pas que √2 est irrationnel : elle prouve seulement que cet énoncé est non-contradictoire, et qu’il pourrait éventuellement être démontré de manière directe. 

Dans la pratique, il existe de fait des langages informatiques dits de programmation logique qui ne s’autorisent que des preuves constructives. S’il existe un contre-exemple à une hypothèse, par exemple, ils énumèreront les possibilités jusqu’à le trouver. Ces langages traitent la négation comme un aveu d’ignorance ; nier un fait, ce n’est pas savoir qu’il est faux, c’est admettre que nous ne savons pas le démontrer sur la base de nos connaissances, supposées incomplètes et toujours perfectibles.

J’y vois l’antithèse du tristement célèbre TINA (There Is No Alternative), et peut-être devrions-nous nous en inspirer dans ces temps de certitudes toxiques…

Yannick Cras
Le nombre imaginaire

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