Nous regardâmes Galois, bouche bée. Enfin, moi. Mon caillou et mon cortex visuel trouvèrent chacun le moyen d’exprimer sa stupéfaction à sa manière, ne me demandez pas comment.

– Que… que voulez-vous dire ? bégayai-je.

– Oui, nous avons un gros problème, répéta Galois. Ce sont les derniers dessins de Corty qui me l’ont fait réaliser. Les concepts fusionnés y forment des chaînes, dans lesquels chaque concept intermédiaire a exactement une flèche qui en part et une qui y arrive.

– Et alors ? demanda Corty.

– Et alors, regardez ce schéma :

Maintenant, concentrez-vous sur la flèche en rouge, entre les concepts Chien et Animal. Que remarquez-vous ?

– Ben… un chien est un animal, dit le caillou. Qui est lui-même un chnops conscient. Jusqu’ici je valide, avec une réserve quant à ce dernier point.

– Certes, s’impatienta Galois, mais quoi d’autre ? Quoi d’autre entre le chien et l’animal ?

– Euh… rien.

– Oui ! Exactement ! Rien du tout ! Et c’est ça, notre gros problème !

Je me demandai si Galois était en train de devenir fou, ou si mon rêve partait en sucette, signe de réveil imminent.

– Imaginez un instant que le seul animal qui existe sur Terre soit le chien. Rien d’autre. Pas de chat, pas d’insectes, pas d’oiseaux, pas d’autre mammifère…. Juste des chiens.

– Mmmm.

– C‘est ce que nous dit ce treillis, n’est-ce pas ? Le chien est un animal, mais il n’y en a pas d’autre.

– OK.

– Par ailleurs, le chien est un animal mais rien de plus. Le concept Chien ne spécialise aucun autre concept que Animal et les généralisations de ce dernier, contrairement à l’œil de Taureau, par exemple, qui se distingue du galet par le fait qu’il est non seulement minéral, mais conscient.

– Oui, et alors ?

– Dites-moi : dans un monde comme celui-là, auriez-vous besoin d’un concept différent pour Chien, si vous avez déjà le concept Animal ?

– Euh….

– Comment pourriez-vous faire la différence entre les deux ? Tous les chiens que vous voyez sont des animaux, certes, mais tous les animaux que vous voyez sont des chiens !  Milou est un chien, mais c’est aussi un animal ; un chien est un chnops conscient, mais un animal aussi ; un chien n’a rien à voir avec un galet, mais un animal non plus ; etc.

– Je crois que je vois…

– Dans toute situation, vous pourriez employer un mot pour l’autre sans que cela fasse la moindre différence. « Il faut sortir l’animal ». « Il fait un temps d’animal, aujourd’hui ». « Attention, animal méchant ».

– « Chien, on n’est pas bien », pourrait chanter Gérard Manset. Sur ce, satisfait de sa contribution au débat, l’œil de taureau se mit à fredonner de la plus irritante façon.

– Clairement, continua Gallois, les deux concepts d’animal et de chien font double usage. Vous ne pourriez pas faire la différence subjective entre les deux ; il faudrait donc les fusionner. Vous voyez le problème ?

– Oui ! réalisai-je soudain. Ces deux concepts ne sont pas équivalents au sens où nous l’avons défini. L’un est plus général que l’autre, donc il n’existe aucun automorphisme qui les relie ; comme nous l’avons vu c’est impossible dans un treillis fini. Cela fait que nous ne pouvons pas les fusionner, alors que nous devrions pouvoir le faire. Zut alors !

– Cela veut dire, écrivit Corty, que nous devons redéfinir, ou au moins élargir notre notion d’équivalence conceptuelle.

– Exactement, et en évitant si possible de mettre à la poubelle tout le travail que nous avons déjà effectué, dit Galois. Quelqu’un aurait-il une idée ?

Moi, j’étais sec et fort démoralisé. Corty, lui, gribouillait sur le tableau, formant des mots hésitants qu’il effaçait avant qu’on pût les lire ; visiblement il était en panne d’inspiration.
L’avancée vint d’où je ne l’attendais pas, quand le caillou s’arrêta de chantonner et nous offrit l’équivalent minéral d’une moue dédaigneuse :

– Franchement je ne vois pas où est le problème, déclara-t-il. Si l’un de ces concepts vous gêne, vous n’avez qu’à vous en débarrasser. Supprimez donc le chien. Ou alors l’animal, si ça revient au même. D’ailleurs pour ce qui me concerne vous pourriez supprimer tous les chnops d’un coup, ça ferait des vacances aux autres concepts.

Je m’apprêtais à répondre vertement quand, à ma grande surprise, j’entendis Galois s’exclamer :

– C’est cela ! C’est exactement cela ! Mon cher œil de taureau, vous êtes un génie !

Le petit saligaud en rosit de plaisir.

– C’est tout-à-fait cela qu’il faut faire, continua Galois. Je peux enlever un concept du treillis, si je prends soin d’en reconnecter au besoin les prédécesseurs et les successeurs ; car la relation d’ordre continue à exister entre ces concepts restants. Or notre ami a raison : si j’enlève le concept Chien du treillis, j’obtiens un dessin ; si j’enlève Animal j’en obtiens un autre, et ces deux dessins se recouvrent ! Voyez vous-mêmes :

Dans le dessin de gauche, j’élimine le concept Chien ; je raccorde ses prédécesseurs Lassie et Milou à son unique successeur Animal, puisque Animal devient le concept le plus particulier généralisant chacun d’eux. Dans le dessin de droite, j’élimine le concept Animal. Je rattache les deux flèches qui en partaient à son prédécesseur Chien; ce dernier est en effet maintenant le concept le plus général qui spécialise à la fois Chnops et Conscient. Vous le constatez, ces deux dessins se recouvrent exactement, aux noms près (et souvenons-nous que les concepts n’ont pas de nom).

– Donc, avança Corty, il existe un automorphisme qui donne l’un à partir de l’autre ?

– Pas un automorphisme, dit Galois, car nous parlons maintenant de deux treillis différents – l’un contient Animal et pas Chien, pour l’autre c’est l’inverse. Nous avons à faire ici à un isomorphisme : chaque concept d’un treillis correspond exactement à un concept de l’autre, et les flèches se recouvrent.

– Formidable !

– Il faut noter une subtilité technique : quand on enlève un élément à un treillis, comme je viens de le faire ici, on n’obtient pas toujours un treillis ; parfois le résultat est un ensemble partiellement ordonné mais c’est tout. Cependant, on peut aussi définir la notion d’isomorphisme pour de tels ensemble ; l’essence en est toujours que les deux dessins se recouvrent exactement, éléments et flèches.

– Nous pourrions donc proposer une autre notion d’équivalence conceptuelle, dis-je très excité. Deux concepts x et y du treillis C sont équivalents si C privé de x est isomorphe à C privé de y.

– C’est tout-à-fait cela, dit Galois. Mathématiquement, je le noterais ainsi :

∀ x, y ∈ C², x ≋ y ⇔ C\{x}   ≂ C\{y}

Le symbole \ désigne la différence entre deux ensembles, et la relation ≂ désigne ici le fait que deux ensembles partiellement ordonnés sont isomorphes. Cette relation est une relation d’équivalence entre ensembles, bien sûr.

– Il nous faut vérifier que cette nouvelle définition étend la précédente, intervint Corty.

– C’est vrai, dit Galois, mais cela marche bien. Si x et y sont équivalents selon l’ancienne définition, alors il existe un automorphisme f sur C tel que f(x) = y. Quand on restreint f à C privé de x, alors tous les éléments de cet ensemble ont une image dans C privé de y ; et cette fonction est un isomorphisme.

– Parfait ! Dis-je. Nous avons à présent une nouvelle définition de l’équivalence de deux concepts : ils sont équivalents si, en enlevant chacun d’eux du treillis, on obtient le même dessin aux noms près. Dans ce cas ils ne peuvent pas être distingués subjectivement. J’ai hâte d’explorer cela plus en détail !

– Moi aussi, répondit Corty, même si je commence à être crevé. Je propose un petit break, et on reprend ?

– Je ne bouge pas, dit Galois.

– Moi non plus, répliqua le caillou. Revenez quand vous voulez.

(à suivre)

Yannick Cras