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La flèche immobile
| 16 Fév 2016

“Le Nombre imaginaire” ou les mathématiques comme terrain de jeu où l’imagination seule fixe les limites.

C’est bien joli tout ça, mais nous avons laissé en plan Hilbert et Russel qui font pourtant face à une situation fort délicate. La clientèle de l’hôtel Aleph est exigeante, et nulle considération absconse quant à la possibilité ou non de faire tenir des clubs dans des chambres ne saurait lui tenir lieu d’excuse valable. Pour résumer l’opinion générale : quand on veut on peut, et au prix où se paye la nuitée la direction ne devrait pas regarder à la dépense, ou bien on ira voir ailleurs. Comme l’un des résidents les plus vindicatifs ne se priva pas de le dire à Hilbert, “vous savez remplir ℵ0 chambres d’un coup, nous pourrions bien vous montrer comment les vider tout aussi rapidement”. Bref, la crise.

L’affaire vint aux oreilles de Zénon d’Élée, un résident des premières heures, propriétaire d’un cabinet de design florissant, et qui rêvait justement d’acquérir une référence prestigieuse en s’assurant la clientèle de l’hôtel ; ce à quoi Hilbert, qui jugeait les innovations de Zénon pour le moins aventureuses et peu compatibles avec le conservatisme de sa clientèle, s’était jusqu’alors refusé.

Le nom de Zénon n’est peut-être pas inconnu au lecteur. Ce philosophe présocratique, très beau gosse paraît-il, était un élève de Parménide. Aristote lui attribue l’invention de la dialectique, ce qui n’est déjà pas rien ; mais Zénon est surtout connu pour quelques paradoxes d’un aplomb remarquable, démontrant par exemple qu’une flèche en vol est immobile à tout instant, qu’une pierre lancée vers un arbre ne pourra jamais l’atteindre, et qu’Achille ne pourra jamais rattraper la tortue s’il commence la course après elle. Au cœur de son raisonnement : le nombre infini des étapes nécessaires. Ainsi, pour atteindre l’arbre, la pierre devra d’abord franchir la moitié de la distance, puis la moitié de cette moitié, et ainsi de suite ad infinitum ; il n’y aura donc jamais de moment où la distance se trouvera réduite à zéro.

Tout comme Russel, Zénon avait des convictions politiques ; il les paya cependant d’un prix plus élevé, et sa rébellion avortée contre un tyran local lui valut une arrivée disons anticipée à l’hôtel Aleph. Son séjour lui permit néanmoins d’affiner sa vision de l’infini au contact de grands théoriciens tels que Cauchy, Bolzano et Weierstrass – arrivés plus tardivement du XIXe siècle et donc mieux outillés. Car ce que Zénon touchait du doigt de son vivant sans le savoir encore, et qu’il apprit ensuite à maîtriser, c’était l’infini du continu, celui de la distance et du temps, de ce qui se mesure et ne se compte pas – celui du moult et non du maint ; l’infini des instants immobiles de la flèche, celui des points à franchir pour atteindre l’arrivée de la course.

Zénon devint un praticien renommé de l’origami du continu. Le vrai continu est fort difficile à trouver dans notre monde physique (il est même fort possible, si l’on en croit les physiciens, qu’il n’en existe pas une once) ; mais ce n’est pas ce qui manque dans l’univers platonicien qui abrite l’hôtel Aleph et toutes les constructions mathématiques du même acabit. Partant d’un simple segment de droite tout ce qu’il y a de commun, Zénon apprit, à force de le plier et de le replier artistement, à obtenir de jolies courbes, puis des surfaces diverses et des volumes tarabiscotés – car il y a, figurez-vous, autant de points dans un carré ou dans un cube que dans un segment de droite –, et même des fractales de toute beauté dont nous reparlerons un jour et qui sont sa signature. Si son esthétique novatrice du continu peut choquer le public un peu pincé des résidents de l’hôtel Aleph, elle fait en revanche l’unanimité chez les critiques d’art contemporain.

Quand la “crise des clubs” éclata, Zénon comprit qu’une chance unique se présentait à lui en réalisant que – par un hasard providentiel – l’infini du continu était aussi celui des nombres réels et des clubs de Russel : il y avait donc exactement autant de clubs à héberger que de points sur une droite ou d’instants que met notre flèche immobile à atteindre sa cible. Vous pensez bien qu’il n’allait pas laisser si belle occasion. Il conçut donc un magnifique bâtiment quadridimensionnel, baptisé “Aleph Tesseract”, d’une sobriété de bon aloi, et au sein duquel un infini continu de salles spacieuses et aérées pouvaient héberger un infini continu de clubs. Devant cette menace à peine voilée de concurrence agressive, Hilbert se rendit à l’évidence et passa le marché – à la grande satisfaction de ses clients et fort à son avantage paraît-il, car si Zénon est un génie du continu, la finance n’est en revanche pas son fort.

L’histoire finit là mais comporte un petit épilogue. Cantor, qui suivait tout cela avec attention, se fit la remarque que la coïncidence tombait tout de même un peu trop à pic. N’y avait-il pas entourloupe ? Ne pouvait-on, par exemple, imaginer un infini plus grand que celui de l’hôtel Aleph, mais qui cependant ne nécessiterait pas le continu de Zénon ? Cantor eut beau chercher, il n’en trouva pas d’exemple; mais il ne trouva pas davantage de preuve que c’était impossible.  Il décida donc sagement de ne pas insister. Plus tard, Kurt Gödel devait d’ailleurs démontrer qu’il n’y avait aucun moyen de prouver cette hypothèse ni de la réfuter : ce genre de choses arrive quand on joue aux maths. Ce que nous allons d’ailleurs commencer à faire ensemble dès la semaine prochaine.

Yannick Cras
Le nombre imaginaire

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