Température critique

“Le Nombre imaginaire” ou les mathématiques comme terrain de jeu où l’imagination seule fixe les limites.

La justification des inégalités croissantes de revenu et de patrimoine est un pan essentiel du socle idéologique qui soutient le néolibéralisme – comme toute société inégalitaire, de tous temps et en tous lieux, ainsi que le démontre Piketty dans son dernier opus.

À l’heure actuelle, cette justification s’appuie sur une méritocratie présumée : si les riches sont riches, c’est qu’ils méritent de l’être. Ils sont plus malins, plus travailleurs, prennent plus de risques. Cette croyance percole sous une forme ou sous une autre dans toutes les couches de la société, y compris les plus modestes : le riche est peut-être un salaud, mais alors c’est un salaud intelligent, un malin. Elle n’épargne pas non plus les classes moyennes : si nous possédons quelques biens ou bénéficions de revenus confortables, et même si nous reconnaissons la chance que nous avons eue de grandir dans le bon pays, dans la bonne famille, dans le bon environnement social, éducatif, puis professionnel, nous restons persuadés que nous l’avons mérité par notre travail, notre talent et nos efforts.

Une étude récente, décrite dans un article de Pour la Science dont je recommande chaudement la lecture, vient mettre à mal cette croyance de manière spectaculaire. Il est par ailleurs significatif qu’elle s’appuie sur des outils mathématiques utilisés d’habitude non pas en économie mais en physique statistique.

Physique statistique

La physique statistique s’attache à comprendre comment des comportements globaux émergent des interactions individuelles entre un très grand nombre d’objets élémentaires soumis à des règles simples. L’exemple le plus connu en est la théorie cinétique des gaz, qui remonte au XIXe siècle et à la première révolution industrielle : il fallait bien comprendre comment fonctionne une machine à vapeur !

Un gaz, c’est un ensemble de molécules d’un ou plusieurs éléments qui se déplacent à plus ou moins grande vitesse, s’entrechoquent, rebondissent sur les parois du récipient qui les contient. Une molécule individuelle du gaz possède une masse, une vitesse, une direction, et rien d’autre ; c’est le nombre immense de leurs interactions entre elles et avec le contenant qui va faire émerger des grandeurs physiques macroscopiques appelées pression ou température. De nombreux autres systèmes physiques s’étudient de manière similaire, comme les matériaux ferromagnétiques, dont l’aimantation est un phénomène émergeant déterminé par les orientations des dipôles magnétiques individuels.

Des chercheurs ont cherché à appliquer ces mêmes principes à une population de nombreux individus identiques qui échangent de la richesse lors de transactions aléatoires, tout comme des molécules de gaz échangent de l’énergie cinétique en se rencontrant. On laisse ces individus interagir de nombreuses fois avec d’autres choisis au hasard, auxquels ils vont céder ou dont ils vont obtenir une part de richesse. L’idée est ensuite d’étudier le profil d’inégalité de richesse qui émergera de ces interactions microscopiques, tout comme on étudie la température ou la pression qui émerge des interactions entre molécules d’un gaz.

Il faut noter que quand deux individus effectuent une transaction – une vente, un échange de biens –, leur richesse à chacun ne changera que si la transaction est déséquilibrée, que si l’un des deux se fait avoir ou commet une erreur. Supposons que je vous achète un diamant pour 10 000 € : si c’est effectivement son prix de marché, ni ma richesse ni la vôtre ne changent – j’avais 10 000 € en liquide, je possède à présent un diamant qui les vaut et que je peux revendre au même prix. En revanche, si le diamant est faux, je me suis fait avoir : j’ai perdu 10 000 € et vous les avez gagnés. À l’inverse si je sais que dès demain le cours du diamant explosera (grâce à mon accès à des informations confidentielles), c’est vous qui vous êtes fait avoir, et je récupère une partie de votre richesse. Les interactions, dans le système étudié, correspondent à ce type de transactions déséquilibrées.

Les chercheurs ont créé un grand nombre d’individus virtuels, tous possédant initialement la même richesse. Ils les ont ensuite laissé interagir aléatoirement : lors de chaque interaction, chacun des deux acteurs peut gagner ou perdre une certaine somme avec une chance sur deux. La somme en question représente une portion donnée – par exemple 20% – de la fortune du moins riche des deux.

On constate alors qu’au bout d’un certain temps, un seul individu se retrouve à posséder presque toute la richesse disponible. Autrement dit, malgré une distribution équitable des richesses initiales dans une population d’individus absolument identiques, le seul hasard crée un monopole absolu ! Et ce résultat perdure quel que soit le montant choisi pour les transactions.

C’est un résultat marquant, mais qui ne correspond pas (heureusement) à la réalité des systèmes économiques actuels, car même dans les sociétés les plus inégalitaires on ne trouve pas le cas d’un unique individu possédant tout ce qu’il y a à posséder. Aussi les chercheurs ont-ils introduit trois paramètres additionnels dans leur modèle, afin de le rapprocher de la réalité.

Trois paramètres

Le premier paramètre est un biais de redistribution de la richesse, qui modélise l’impact global des politiques de redistribution via l’impôt progressif, les aides sociales, etc. Après chaque transaction, chaque individu plus pauvre que la moyenne reçoit un certain pourcentage de son écart à la moyenne ; chaque individu plus riche que la moyenne doit céder ce même pourcentage de son écart à la moyenne (qui sera redistribué aux plus pauvres).

Le second paramètre correspond à un biais qui avantage les riches : il est bien établi que les riches disposent de plus d’information, de meilleurs conseils, de taux d’intérêt plus avantageux que les pauvres. Pour modéliser cela, les chercheurs ont biaisé la probabilité de gagner lors d’une interaction en faveur du plus riche des deux acteurs ; le plus riche des deux acteurs gagnera plus souvent que l’autre, à proportion de leur écart de richesse multiplié par ce paramètre.

Enfin, les chercheurs ont autorisé la modélisation d’une richesse négative pour les individus endettés, et adapté les règles de calcul des interactions pour qu’elles fonctionnent aussi dans ce cas.

Il est remarquable de constater que ce modèle à trois paramètres, quand on en ajuste avec soin les valeurs, reproduit alors avec une fidélité extrême (à moins de 0,5% près et souvent bien moins) les profils de répartition des richesse de différents pays. Il offre même, d’après les auteurs, une meilleure concordance avec la réalité que tout autre modèle économique existant à leur connaissance. Or il repose sur le hasard le plus complet et ne laisse aucune place à l’individu ! En d’autres termes, tout comme le gagnant du loto, vous êtes riche parce qu’il en faut, mais statistiquement vous n’y êtes pas pour grand-chose.

Ce modèle est aussi porteur d’autres enseignements. Pour les comprendre, il faut revenir un instant sur les systèmes étudiés en physique statistique. Une de leurs caractéristiques essentielles est qu’ils sont soumis à ce que l’on appelle des changements de phase.

Changements de phase

Une variation continue des conditions extérieures au système – par exemple le volume et la température du récipient contenant un gaz – peut provoquer un changement brutal et qualitatif du comportement collectif, alors même que chaque molécule reste naturellement identique à elle-même. Le système global adapte sa configuration de manière à minimiser son énergie, et cela déclenche un changement d’état brutal du système macroscopique sans que ses composants microscopiques individuels ne changent leur comportement. C’est ainsi que l’eau gèle ; c’est aussi comme cela qu’un matériau magnétique perd son aimantation d’un coup dès qu’il est porté à une température dite de Curie.

Or le système économique simulé par les chercheurs est lui aussi soumis à un changement de phase. Très exactement, si le biais de redistribution est inférieur au biais en faveur des riches, alors le modèle devient oligarchique (une très petite proportion de la population possède et conserve une part importante de la richesse globale), tandis que s’il est supérieur ce n’est pas le cas (la richesse de tous les individus fluctue avec le temps, aucun ne restant durablement beaucoup plus riche que les autres). Le rapport entre le biais de redistribution et le biais en faveur des riches est analogue à une «température» : s’il est trop faible, le système « gèle » et devient oligarchique ; s’il est supérieur à 1, le système est « liquide » et une certaine mobilité sociale est assurée. La frontière, où les deux paramètres sont égaux et où se produit la transition de phase, s’appelle une température critique – tout comme celle de la fusion de l’eau ou la température de Curie.

Température critique

Un phénomène intéressant se constate quand on place différents pays sur une carte portant le biais de redistribution sur l’axe horizontal et le biais en faveur des riches sur l’axe vertical. L’Allemagne, par exemple, redistribue peu mais n’offre pas beaucoup de privilèges à ses riches ; à l’opposé, la Grèce redistribue beaucoup mais les riches y sont aussi très privilégiés. Ces deux pays sont donc fort éloignés sur notre carte. Ils sont cependant, comme tous les autres, tous deux placés très près de la diagonale qui représente la « température » critique où les deux biais sont égaux. La plupart des pays de la zone Euro, à l’exception notable des Pays-Bas, sont oligarchiques, mais il suffirait d’un petit changement pour qu’ils traversent la frontière du changement d’état et deviennent « liquides ».

Que conclure de tout cela ? Certes, ce modèle purement aléatoire (appelé modèle affine de richesse) est très simple, ne considère que des individus identiques, et ne prend pas en compte par exemple la création ou la destruction nette de richesse à travers le temps (on pourrait peut-être y remédier en considérant la nature ou le temps comme des agents dans ce système). Pourtant, il s’ajuste avec une précision incroyable aux données de l’économie réelle. Ce simple constat oblige à considérer la méritocratie supposée pour ce qu’elle est : une croyance bien commode, une justification rassurante, mais en aucun cas une nécessité mathématique ni une réalité scientifique établie.

Une autre leçon que nous pouvons tirer de ce modèle, c’est qu’un changement faible et continu de certaines conditions peut résulter en une modification brutale et qualitative d’une société. Nous sommes très proches de la frontière qui sépare la glace de l’oligarchie et le liquide de la mobilité sociale. Qui sait dès lors quels effets peuvent avoir les actions politiques même les plus modestes ! En ces temps troublés, on peut y voir un signe d’espoir.

Yannick Cras
Le nombre imaginaire

Bruce M. Boghosian, « Aux sources mathématiques des inégalités de richesse », Pour la Science, n°507, janvier 2020, p. 61-67