Un point sur le i

“Le Nombre imaginaire” ou les mathématiques comme terrain de jeu où l’imagination seule fixe les limites.

Cette chronique existe déjà depuis un certain temps, et nous n’y avons jamais mentionné qu’en passant le nombre même qui fait son titre, le nombre imaginaire par excellence, le fameux i. Il est grand temps de corriger cette injustice.

Et pour ce faire, le mieux est encore de partir de sa définition et de voir où elle nous mène. Comme nous avons cherché (en vain) à donner un sens à la division par zéro, nous cherchons ici à donner un sens à l’expression « racine carrée de -1 ».

Tout d’abord, qu’est-ce que la racine carré d’un nombre N, en général ? C’est un nombre R dont le carré, soit R x R, vaut N. Mais il faut noter immédiatement que si un nombre R convient, alors son opposé -R convient aussi ; par exemple, 3 x 3 = 9 mais (-3) x (-3) = 9 (car multiplier deux nombres négatifs donne un nombre positif). C’est pourquoi on convient, quand N est un nombre positif, d’appeler racine carrée de N le nombre R supérieur ou égal à zéro dont le carré vaut N ; il n’y en a qu’un. La racine carrée de 9, c’est 3 et pas -3, mais ce n’est qu’une convention.

On voit immédiatement que parmi les nombres « normaux », ce que nous appelons les nombres réels, il n’en existe aucun dont le carré soit négatif : la multiplication d’un nombre par lui-même donne toujours un nombre positif. C’est pourquoi on ne peut pas définir la racine carrée d’un nombre négatif, du moins avec les nombres existants.

Cela vous embête ? Cela vous donne un sentiment d’inachevé ? Qu’à cela ne tienne : nous n’hésiterons pas, afin de rendre notre théorie des nombres plus esthétique, à postuler l’existence d’une racine carrée de -1. Appelons-la i. Nous voulons enrichir notre collection de nombres avec i, sans pour autant perdre aucune des propriétés de nos opérations numériques usuelles – notre objectif est de compléter la théorie, pas de la modifier là où elle fonctionne.

Un premier écueil se présente immédiatement, que nous allons devoir contourner pour le moment. Notre définition de la racine carrée d’un nombre voudrait que i soit positif. Mais i n’est pas un nombre comme les autres. Comment pouvons-nous le définir comme positif ? qu’est-ce que cela veut dire au juste ? comment le comparer à zéro ou à tout autre nombre ? Cela n’a rien de simple, et nous y reviendrons. Pour l’heure, laissons cela de côté et concentrons-nous sur l’autre propriété bien plus fondamentale de i : son carré vaut -1. Que pouvons-nous en déduire ?

Si nous voulons ainsi compléter notre système de nombres, il faudra bien que i et tous les autres nombres existants ou à ajouter puissent se combiner entre eux par les opérations usuelles telles que la somme et la multiplication ; sinon nous creuserons plus de trous que nous n’en boucherons. Des expressions comme 1 + i ou 2 x i doivent avoir un sens et se comporter selon les mêmes règles que pour les nombres réels que nous connaissons déjà.

Tout d‘abord, nous constatons que 2 x i, par exemple, n’est pas non plus un nombre ordinaire : s’il était égal à un nombre réel R, alors on aurait i = R/2, qui est un nombre parfaitement normal. De manière générale, le produit d’un nombre réel par i n’est pas un nombre réel. C’est ce que nous appellerons un nombre imaginaire pur.

Qu’en est-il de 1 + i ? Ce n’est pas non plus un nombre réel, car si N = 1 + i est un nombre réel, alors = N-1 est un nombre réel, ce qui n’est pas le cas. De manière générale, un nombre C de la forme A + i x B , où A et B sont deux nombres réels, n’est pas un nombre réel sauf si B est nul (car C – A i x B n’est pas réel, or la différence de deux nombres réels est un nombre réel). Mais C n’est pas non plus un nombre imaginaire pur : en effet, C – B x i = A n’est pas un nombre imaginaire pur, alors que la différence entre deux nombres imaginaires pur en est un.

L’introduction du nombre i nous oblige donc à ajouter toute une classe de nouveaux nombres de la forme A + i x B, où A et B sont deux nombres réels. Un tel nombre est appelé un nombre complexe, et on l’écrit généralement A + iB (en maths, on omet souvent le signe de multiplication, ou on le remplace parfois par un point). Si B est nul, C est un nombre réel : nous avons étendu notre ensemble de nombres réels (traditionnellement noté R), qui devient juste une petite partie de l’ensemble des nombres complexes (noté C). Petite comment ?  Eh bien, R est à C ce qu’une droite est à un plan. Une propriété merveilleuse et contre-intuitive, que nous avons déjà rencontrée à l’hôtel Aleph, fait que, bien que la plupart des nombres complexes ne soient pas des nombres réels, ces deux ensembles contiennent pourtant autant d’éléments l’un que l’autre !

Continuons donc d’explorer nos nombres complexes en y projetant les propriétés habituelles des opérations sur les nombres, ne fût-ce que pour nous assurer de ne pas y rencontrer une contradiction logique comme celle qui a détruit nos espoirs de diviser zéro par zéro.

Tout d’abord, nous noterons qu’un nombre complexe peut s’écrire d’une seule façon comme somme d’un nombre réel et d’un nombre imaginaire pur. En effet, si nous supposons que A + iB = C + iD, alors 0 = (A-C) + i(B-D), et donc (A-C) = i(D-B). Mais la seule possibilité pour le nombre imaginaire pur i(D-B) d’être aussi un nombre réel est qu’il soit nul ; donc D = B, et de ce fait A = C.

Comment allons-nous ensuite additionner ou soustraire deux nombres complexes ? Eh bien nous observerons que la somme de deux nombres complexes A + iB et C + iD s’écrit aussi (A+C) + i(C+D). La somme de deux nombres complexe s’obtient donc en calculant la somme de leurs parties réelles et celle de leurs parties imaginaires.

Quant à leur produit, nous pouvons aussi le calculer, d’abord par un petit développement :
(A+iB) x (C+iD) = AC + iAD + iBC + i x i x BD

Puis, en se souvenant que i x i = -1, nous pouvons regrouper les termes réels et les termes imaginaires :
… = (AC – BD) + i(AD + BC).

Le produit de deux nombres complexes est donc totalement déterminé par nos hypothèses de départ, même si sa formule est un peu plus compliquée que ce à quoi nous nous serions attendus. Et, jusqu’ici, nous n’avons pas rencontré de contradiction.

Nous observons à ce stade des choses intéressantes. Tout d’abord, le produit de deux nombres complexes qui ne sont pas réels peut être un nombre réel ! C’est le cas pour (2 + 2i) x (3 – 3i) qui est égal à 12.

Ensuite, intéressons-nous aux nombres complexes A + iB tels que A+ B= 1 ; c’est le cas par exemple des nombres 1, i, -1, -i, 1/√2 + i/√2 ou √3/2 + i/2. Dans le plan des nombres complexe, ces nombres peuvent être disposés sur un cercle centré sur zéro. Nous observons alors que si on multiplie deux d’entre eux, le résultat est un nombre complexe sur le même cercle, car (AC-BD)+ (AD+BC)= 1 (je vous épargne la démonstration mais elle est facile). Mmmm… une opération qui déplace des points sur un cercle, à quoi cela pourrait-il bien servir ?

C’est alors que remonte, douloureux et jusqu’ici miséricordieusement refoulé, l’horrible souvenir de la trigonométrie de collège, des épouvantables formules de calcul du sinus et du cosinus. En avez-vous également souffert, de cet horrible par cœur ? Maintenant que cela me revient, je me rends compte à quel point ces formules ont été marquées au fer dans mon esprit : cos (A + B) = cos(A)cos(B) – sin(A)sin(B), et sin(A + B) = sin(A)cos(B) + sin(B)cos(A). Ah, que de souffrance pour mémoriser ces formules…

… et quelle rage de découvrir plus tard que cela ne servait à rien du tout de les retenir ! En effet, pour chaque nombre complexe z sur notre cercle, il existe un angle a tel que z = cos(a) + i sin(a) – car la somme des carrés du sinus et du cosinus d’un angle vaut toujours un. On peut donc voir ce cercle comme un rapporteur, et chaque nombre complexe sur ce cercle correspond à un rayon qui fait un certain angle avec l’horizontale. Par exemple, le nombre 1 correspond à l’angle zéro ; i correspond à 90° (le rayon du cercle dirigé vers le haut) ; -1 correspond à 180° (vers la gauche) ; et 1/√2 + i/√2 correspond à un angle de 45° (diagonale vers le haut et la droite).

Nous observons alors que

(cos(a) + i sin(a)) x (cos(b) + i sin(b))
= (cos(a)cos(b) – sin(a)sin(b)) + i(sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a))
= cos (a + b) + i sin(a+b)

Autrement dit, si deux nombres complexes du cercle correspondent aux angles a et b, leur produit correspond à l’angle a+b : multiplier l’un de ces nombres par un autre revient à le faire pivoter de l’angle correspondant sur le cercle. Si on m’avait expliqué cela plus tôt, je ne me serais jamais épuisé à mémoriser et appliquer ces formules trigonométriques pour calculer le sinus ou le cosinus de la somme de deux angles : j’aurais directement calculé le produit des deux nombres complexes correspondants – une seule formule facile à mémoriser et à retrouver si besoin (on peut légitimement se demander pourquoi diable quelqu’un aurait besoin de faire ça, mais il se trouve que c’est très utile en électricité, par exemple).

Bref, enseigner la trigonométrie avant les nombres complexes, c’est du pur sadisme ou je ne m’y connais pas.

Reste, avant d’abandonner le sujet, à mentionner ce qui est l’une des plus élégantes équations des maths, une sorte de E = MC2 sans physique, qui relie deux stars des nombres transcendants – et π – à notre nombre imaginaire i ; à savoir ceci : eiπ = -1. Car on peut aussi définir l’exponentielle d’un nombre complexe ; et pour tout angle a, eia est justement le nombre cos(a) + i sin(a).

Au fait, avons-nous finalement calculé « la racine de -1 » ? Pas vraiment – car nous nous étions donné pour règle qu’une racine carrée soit positive ; or un nombre complexe, en général, n’est pas plus grand ou plus petit qu’un autre, tout comme on ne peut pas dire qu’un point sur la carte soit plus grand ou plus petit qu’un autre – il ne peut être que plus au nord ou plus au sud, ou plus à l’est ou à l’ouest. Nous devons donc assouplir nos critères et considérer que -1 possède deux racines carrées, i et -i. Mais il possède aussi trois racine cubiques, et quatre racines quatrièmes : quelle élégance !

Ce qu’il y a d’assez merveilleux dans toute cette histoire, c’est que l’existence d’un ensemble des nombres complexes comme les propriétés de ce dernier n’ont rien d’arbitraire : elles découlent naturellement de notre énoncé i= -1. Si on veut postuler l’existence d’un nombre ayant cette propriété sans renoncer aux propriétés usuelles des opérations numériques, alors on n’a pas le choix, tout le reste s’en déduit. C’est là un exemple assez remarquable du pouvoir créateur de l’imagination mathématique.

Yannick Cras
Le nombre imaginaire