“Statistiques” à l’appui, l’État du Texas a tenté de faire annuler l’élection de Biden dans quatre États clés. Problème : l’analyse de l’expert sur laquelle s’appuyait la demande est d’une imbécilité rare. 

Les 37 pages du jugement rendu par le juge fédéral de Pennsylvanie pour rejeter les plaintes déposées par des électeurs républicains ou les avocats de Trump constituent un petit bijou d’argumentation logique. L’humour en prime. 

Parmi les énigmes mathématiques ludiques, les problèmes de pesée forment une catégorie assez classique. Or, ces jeux mathématiques offrent souvent des applications très sérieuses dans la vie réelle : par exemple, pour optimiser l’efficacité des tests COVID.

Le bon sens mérite d’être réhabilité, surtout en cette phase où le citoyen recouvre sa légitimité à intervenir dans les débats politiques, économiques et sociaux. Afin d’y contribuer, voici trois énigmes dont le seul bon sens offre la clé.

Si les riches sont riches, c’est qu’ils méritent de l’être. Ils sont plus malins, plus travailleurs, prennent plus de risques. Une étude récente vient mettre à mal de façon spectaculaire cette croyance qui percole sous une forme ou sous une autre dans toutes les couches de la société.

Un bon schéma vaut mieux qu’un long discours. Démonstration par « la courbe de l’éléphant » qui dessine l’évolution des revenus et des inégalités à l’échelle mondiale sur les 40 dernières années. Édifiant en effet…

Les tenants du « théorème de Coase » s’appuient sur un résultat réputé sérieux pour expliquer que moins l’État en fait mieux tout le monde se porte, y compris en termes de régulation environnementale.

Une récente chronique sur les salaires des enseignants et leur évolution a soulevé un tollé, notamment chez les premiers concernés, qui n’ont pas retrouvé ces chiffres sur leur fiche de paye. Revenons sur les chiffres en question et les erreurs de calcul du chroniqueur. 

Qu’on envisage mollement d’arrêter de fumer, ou qu’on cherche à limiter sa consommation, il faut se donner de bonnes raisons pour le faire, et ce n’est pas gagné. Heureusement, nos autorités de santé ont résolu de prendre les choses en main, à coups de photos et messages chocs. Exemple : 9 cancers du poumon sur 10 sont causés par le tabac. Ce message s’appuie sur un fait avéré… mais il joue tout de même sur notre incompréhension naturelle des pourcentages.

74%. C’est l’accroissement relatif, en un an, du nombre d’actes antisémites recensés par le ministère de l’Intérieur.  Encore ne parle-t-on que des actes graves ayant donné lieu à plainte ou poursuites ; la bêtise et la méchanceté ordinaires n’y sont pas comptabilisées. Pourtant, ce n’est pas vraiment ce chiffre-là qui devrait nous marquer : c’en sont d’autres, moins visibles et moins spectaculaires, mais qui reflètent une réalité peu reluisante dans laquelle nous vivons sans trop vouloir la regarder en face.

Le problème n’est pas de trouver des chiffres : c’est de trouver les bons, ceux qui vous permettront de mener un raisonnement sain, et qui vous éviteront de vous couvrir de ridicule au premier fact checking un peu sérieux. Prenons par exemple l’affirmation selon laquelle la  croissance crée de l’emploi. La question est passionnante en soi, mais il me paraît aussi intéressant de décrire le travail de recherche nécessaire au citoyen lambda qui cherche à en avoir le cœur (inter-)net par lui-même, sans autres moyens que son navigateur et son moteur de recherche préféré. Je ne saurais trop encourager nos lecteurs à s’y lancer comme moi. (Lire l’article)

Il est des moments où parler de mathématiques semble bien vain au regard de ce qui se passe dans le monde si peu platonicien qui est le nôtre. Alors de quoi parler ? De chiffres, pour une fois. Ces chiffres qui gouvernent notre vie et auxquels nous ne comprenons pourtant pas grand-chose. Commençons par une liste, qui s’appuie, sauf mention contraire, sur des données mensuelles datant de 2016. Nous y parlerons en particulier du niveau de vie d’une personne, terme qu’il convient de clarifier. (Lire l’article)

Dernière étape de notre voyage dimensionnel : celle des espaces à nombre infini de dimensions. Le premier que nous allons visiter est un espace de nombres. Chacune de ses dimensions correspond à un nombre premier – un nombre supérieur à 1 qui n’est divisible que par 1 ou par lui-même. Pour définir les points de cet espace, nous nous appuierons sur le fait bien connu que tout nombre entier supérieur à zéro peut s’exprimer d’une manière unique comme un produit de puissances entières de nombres premiers. Par exemple, 24 = 6×4 = 3×2³. Nous pouvons alors assigner un point de notre espace au nombre 24, en utilisant la puissance de chaque nombre premier qui apparaît dans sa décomposition comme coordonnée sur la dimension correspondante. Ce qui peut donner quelques petites choses amusantes… (Lire la suite)

Après les espaces à deux, trois, quatre voire cinq dimensions, en voici un autre qui s’enorgueillit, lui, du nombre fort respectable de cent mille dimensions, à quelques dizaines de milliers près. Cet espace, c’est celui défini par les mots de la langue française. Chaque dimension de cet espace est un mot. Si chaque mot est une dimension, quels sont les points de cet espace ? Associons donc à un texte une coordonnée pour chaque mot, qui est tout simplement le nombre de fois où ce mot figure dans le texte. Les pièces de Molière, par exemple… (Lire l’article)

Notre promenade dimensionnelle continue, et nous allons faire un petit arrêt dans un espace à cinq dimensions – trois d’espace, une de temps, la cinquième étant celle des univers parallèles (rien de moins). Bien connue des amateurs de science-fiction, cette spéculation reçoit par ailleurs un soutien des plus sérieux de la part d’une bonne partie de la communauté scientifique, puisqu’elle est entre autres à la base d’une interprétation de la physique quantique qui est une concurrente crédible à l’interprétation dominante dite “de Copenhague”. (Lire l’article)

Un espace à trois dimensions est le premier dans lequel on puisse faire un nœud ou inventer la vis, ce qui n’est pas rien. Mais passons et dirigeons-nous vers l’espace à quatre dimensions. Là, il est impossible de ne pas parler en premier lieu du temps, la quatrième dimension par excellence, enfant chérie des auteurs de science-fiction. L’univers de la Relativité, le fameux espace-temps, est ainsi un monde à quatre dimensions – trois d’espace et une de temps. Ce monde est régi par une géométrie particulière… (Lire l’article)

Notre visite des espaces multi-dimensionnels fait étape cette semaine à l’aire des espaces à deux dimensions. Dans un espace à deux dimensions, on se repère par deux coordonnées. Facile, me direz-vous. C’est ce que l’on fait sur une carte au trésor : deux kilomètres à l’ouest, trois au sud ; ou à la bataille navale : B4, torpilleur coulé. Rien de bien excitant ? Des mathématiciens et physiciens très sérieux se sont penchés sur la physique d’un univers à deux dimensions. Quelles particules élémentaires pourraient exister dans un tel univers ? Quelles étoiles, quelles planètes (circulaires) ? Quelle chimie ? Les physiciens qui sont allés voir y ont parfois gagné un prix Nobel. Les lois de la physique en deux dimensions sont de fait fort différentes des nôtres. (Lire l’article)

Les mathématiciens détestent les nombres imposés arbitrairement, et parmi eux le nombre de dimensions de l’espace : trois. Hauteur, largeur, épaisseur (ou bien : latitude, longitude, altitude). Ce diktat de trois dimensions, pas plus pas moins, est insupportable au matheux, qui va immédiatement se faire un plaisir d’imaginer autre chose. Pourquoi pas deux dimensions, ou quatre ? pourquoi pas une infinité ? Pourquoi pas, même, 3/2 ou Pi ? Et un espace à zéro dimension ? Pas très excitant, on s’y sent vite à l’étroit. Et un espace de dimension un ? Tout point y est identifié par une seule coordonnée, par exemple un nombre. C’est ce qui se passe sur la mythique Nationale 7. (Lire l’article)

Le lecteur de ma génération a peut-être gardé un souvenir confus, voire post-traumatique, de l’infâme preuve par neuf si mal nommée. Le plus jeune pourrait exprimer une certaine incrédulité à l’idée que nous dussions non seulement apprendre à multiplier de grands nombres à la main, mais aussi appliquer une procédure proche de l’incantation magique pour en vérifier le résultat. Il n’est pourtant pas sans intérêt de regarder de plus près ces trucs et astuces divers, mis au point par des générations de mathématiciens et de physiciens, pour nous simplifier la vie et nous éviter les erreurs les plus grossières – car c’est de cela qu’il s’agit. (Lire l’article)

Au regard des mouvements sociaux en cours et des réponses qu’y apporte le gouvernement, une formule étrange me vient à l’esprit : nous faisons face à une crise axiomatique. Un axiome, en logique, c’est une assertion supposée vraie et dont on pourra déduire d’autres énoncés appelés théorèmes. Une fois défini un jeu d’axiomes et les règles de déduction que nous entendons lui appliquer, n’importe qui, en théorie, doit en déduire le même ensemble de théorèmes ; et un ordinateur bien programmé pourra vérifier que ce que nous présentons comme un théorème en est bien un. Or, si l’on écoute les politiques de tout bord, on sera frappé de la prégnance le plus souvent inconsciente du système d’axiomes qui nourrit leur discours. (Lire l’article)

L’un des enjeux qui se posait au chercheur en Intelligence Artificielle des années 1980 était celui du langage informatique à utiliser dans ses expérimentations avec les ordinateurs. Le top du top, c’était d’inventer son propre langage. Que reste-t-il de toute cela ? Bien peu peut-être, mais pourtant cela compte. Le travail mené à l’époque par toute une génération de jeunes chercheurs et ingénieurs se retrouve encore en fondation pour la suite de l’aventure – qui reste toujours aussi excitante. (Lire l’article)

Une conscience « artificielle », est-ce possible ? Qu’est-ce que cela peut bien vouloir dire ? Et si c’est possible, pourrions-nous la créer ou l’éradiquer selon notre bon vouloir ? Deux camps s’affrontent sur ce sujet, depuis des siècles si l’on remonte sa filiation aux controverses quant à la nature de l’âme. À l’heure actuelle, nous trouverons à un extrême les prophètes de la singularité, et à l’autre les héritiers de John Searle et de sa chambre chinoise. Au milieu, nous trouverons Douglas Hofstadter et Daniel Dennet, aux côtés desquels je me range. (Lire l’article)

S’il est un résultat récent de l’Intelligence Artificielle qui a de quoi faire rêver – sans préjudice d’un éventuel cauchemar –, c’est bien le logiciel AlphaGo Zero de Google. Il s’agit du dernier né d’une impressionnante et toute nouvelle dynastie de programmes champions dans un jeu, le Go, que la plupart des spécialistes considéraient encore il y a peu comme inaccessible aux ordinateurs, tant est grande la combinatoire de ses positions possibles : comparés au Go, les échecs font presque mine de morpion. (Lire l’article)

L’intelligence artificielle est partout ces temps-ci. Selon qui vous en parle, elle va révolutionner notre vie, nous piquer nos jobs, gouverner le monde à notre place, nous rendre surhumains ou obsolètes, assurer la sécurité de nos routes, mettre fin à nos libertés, nous faire rois ou esclaves, inventer son propre successeur (et le nôtre) dans une singularité récursive infinie… la boîte de Pandore est ouverte – mais que contient-elle de fantasmes, de mythes anciens modernisés, de réalité exaltante ou effrayante ?

Coder de l’information quantique dans des épis de hérisson ? C’est envisageable. Vous vous souvenez peut-être de ce résultat de topologie assez merveilleux, appelé théorème de la boule chevelue, qui démontre (en substance) que si on tente de coiffer une boule à cheveux ou, pour rendre la chose plus concrète, de lisser les piquants d’un hérisson en boule, on laissera nécessairement un épi ? Eh bien, la physique la plus avancée se saisit de ce résultat pour nous inventer des quasi-particules stables susceptibles de stocker de l’information, voire de l’information quantique. (Lire l’article)

Il n’existe pas de nombre dont le carré soit négatif : la multiplication d’un nombre par lui-même donne toujours un nombre positif. C’est pourquoi on ne peut pas définir la racine carrée d’un nombre négatif, du moins avec les nombres existants. Cela vous embête ? Cela vous donne un sentiment d’inachevé ? Qu’à cela ne tienne : nous n’hésiterons pas, afin de rendre notre théorie des nombres plus esthétique, à postuler l’existence d’une racine carrée de -1. Appelons-la i… (Lire l’article)

Tout comme la nature, les mathématiciens ont horreur du vide, du trou, de la pièce manquante. L’esthétique, la morale presque, commandent une théorie complète, sans surprise, sans hiatus. Si un formalisme mathématique permet de poser une question, elle devrait avoir une réponse ; toute opération devrait fournir un résultat. Sinon il manque quelque chose, et ce manque vous gratte jusqu’au sang ; il faut absolument compléter la théorie pour le combler. Il ne s’agit pas ici d’un principe ni d’une vérité : simplement d’un réflexe, d’un tropisme, d’une compulsion. (Lire l’article)

Le carré de l’hypoténuse / Est égal, si je ne m’abuse / À la somme des carrés / Des deux autres côtés… Certes, mais pourquoi est-ce pour ça et pas autrement ? En fait, cela n’a rien d’évident. On peut prouver le théorème de Pythagore, bien sûr, et de multiples manières. Mais démontrer un théorème, est-ce en soi suffisant pour comprendre pourquoi ça doit être comme ça et pas autrement ? Comprendre, c’est sentir de manière organique, charnelle, pourquoi les règles du jeu que nous avons inventées rendent inévitable le résultat. (Lire l’article)

Nos cinq pirates sont toujours sur le même bateau, bien embarrassés par les 1000 doublons du butin qu’ils doivent se répartir tout en respectant les obligations fixées par leur maître Barbe-Noire, qui s’amuse maintenant à changer les règles du jeu. Il devient de plus en plus difficile d’échapper aux menaces de la planches ou aux crocs du Grand Cric… (Lire l’énigme)

Cinq affreux pirates ont décidé de se partager le butin de leurs rapines, soit 1000 doublons. N’ayant aucune confiance les uns dans les autres, ils décident d’invoquer de concert le fantôme du célèbre et terrifiant Barbe-Noire, leur maître incontesté quoique défunt, dont même le plus épouvantable d’entre eux ne saurait braver les édits, et qui sera donc l’arbitre et le garant de la transaction. Ce dernier leur livre une énigme… (Lire l’énigme)

Si l’une ou l’autre des petites énigmes posées il y a deux semaines vous ont laissée perplexe, vous trouverez ici de quoi vous rasséréner ; et si vous avez tout bon, vous y trouverez de quoi vous en féliciter et même, pourquoi pas, la motivation d’inventer d’autres énigmes sur le même thème. Pour résoudre ce type d’énigme, le plus simple (sinon le plus élégant) est… de lire cet article.

Les vacances d’été sont enfin là, et vous vous prépariez à partir les passer tranquillement au soleil entre plage et terrasse, mais patatras : votre vol low cost est annulé au dernier moment. Bien entendu tous les autres vols sont pleins, votre hôtel réservé six mois à l’avance ne veut rien savoir pour rembourser vos arrhes, vos destinations touristiques favorites sont archi-complètes, vos possibilités de repli sont maigres et votre moral au plus bas. C’est alors que vous découvrez… (Lire l’article)

Assurer sa sécurité informatique, c’est bien beau ; mais ce n’est pas cela qui vous préservera du marketing personnalisé intrusif, des bannières intempestives sur Internet ou du spam embarrassant dans votre boîte aux lettres – sans même parler, sauf pour les plus paranos d’entre nous, d’écoutes de la NSA. De tous les secrets, notre vie privée est le plus précieux ; c’est malheureusement également le plus difficile à préserver. D’une part parce que l’essentiel de nos interactions sur Internet ont précisément pour but, explicite ou non, de nous le faire révéler ; d’autre part, parce que les méthodes utilisées pour cela sont d’une diabolique ingéniosité. (Lire l’article)

Il existe une catégorie essentielle de secrets pour chacun de nous : ceux qui nous permettent de prouver notre identité sur Internet – mots de passe, codes confidentiels, réponses à des questions secrètes. Si nous laissons échapper ces secrets, alors n’importe qui peut se faire passer pour nous. Il existe des recommandations de bon sens : utiliser des mots de passe complexes, jamais deux fois le même, ne jamais les confier à un tiers, utiliser un “coffre-fort à mots de passe”. Force est de reconnaître que nous n’appliquons que rarement ces recommandations, dont certaines sont d’ailleurs contre-productives. Parlons-en un peu. (Lire l’article)

En ces temps joyeux de hacking présidentiel et de logiciels rançonneurs, il n’est pas sans intérêt de se demander ce que peuvent apporter les maths en termes de sécurité informatique. La réponse est : beaucoup. Au-delà de la complexité assez affolante des algorithmes en jeu, il existe quelques principes de bon sens peu connus et pourtant fort éclairants, qui si nous les appliquions tous pourraient nous aider à gagner un peu de confiance en ces systèmes dont nous dépendons tellement et dont nous ignorons trop. (Lire l’article)

On demande aux sondeurs de préciser la taille de leur échantillon et leur marge d’erreur. Ne peut-on exiger de nos institutions et de notre presse qu’elles appliquent quelques règles comptables de base en période électorale ? Avant d’interpréter ce que veulent dire l’abstention et les votes blancs, avant d’argumenter d’un désengagement citoyen ou d’une faiblesse de l’offre politique, ne devrait-on pas décider une fois pour toutes d’offrir en premier lieu un reflet fidèle de ce qui s’est passé dans les urnes ? Assainir la démocratie, c’est aussi cela, et peut-être d’abord cela. (Lire l’article)

De quoi parle donc la topologie ? De propriétés des formes, des espaces et des structures qui s’affranchissent de la géométrie, de la mesure, du quantitatif ; de ce qui se conserve quand vous pouvez infiniment déformer un objet, sans pourtant jamais le percer ni le recoller ; de ce qu’il y a de commun entre un réseau routier, un réseau social, un ensemble de nombres, une figure dessinée sur le plan ; elle parle d’univers où les trous de ver existent, de fourmis vivant sur un pneu, de transformations de l’espace laissant au moins un point fixe. Illustration par le dernier jouet à la mode : la Topotty, une pâte à modeler révolutionnaire. (Lire l’article)

Il est facile à l’esprit fort de se moquer sans merci des amateurs d’horoscope, de voyance, de martingales et de numérologie. On ne s’en prive pas toujours dans ces lignes, et il ne faut certes pas bouder son plaisir, mais évitons tout de même d’y céder au point de passer à côté de quelques aspects très profonds et respectables de la nature humaine qui se cachent derrière ces pratiques, et auxquels le scientifique n’échappe absolument pas plus qu’un autre (par ailleurs, un économiste du FMI qui se moque d’un astrologue, c’est à mon sens l’Hôpital Robert Debré qui se moque de la bande Velpeau – mais ceci est un autre sujet). Et tout d’abord, où est le mal à chercher une explication simple et lisible au monde brouillon, imprévisible, encombré et globalement plutôt mal fichu qui nous entoure et dirige nos vies ? (Lirel’article)

Il est difficile d’aborder les rapports entre maths et religion sans mentionner la célèbre mais finalement assez mal connue controverse de Galilée. Cette histoire éclaire en effet une dialectique profonde et toujours d’actualité entre vérité et modèle. Que l’Église fût effrayée de la révolution conceptuelle introduite par l’idée que la Terre ne soit pas le centre du Monde, on peut bien le penser, mais ce n’est pas réellement là où Galilée avait un problème. Ce qui fut reproché à Galilée, ce ne sont pas seulement les observations ou les moyens de calcul qu’il apportait en soutien de son modèle : c’est d’avoir, au-delà du modèle, présenté un système du monde, une ontologie, une réalité. (Lire l’article)

Les maths entretiennent un rapport de toujours avec le transcendant – plus qu’avec le divin en soi, avec lequel il ne se confond pas. Il ne semble pas, en effet, que la philosophie aristotélicienne du Nombre ait beaucoup fait intervenir les dieux de l’Olympe, lesquels pour leur part ne sont guère férus de mathématiques, occupés qu’ils sont à leurs guerres et amours bien humaines. Ces dieux-là héritent de notre finitude, de notre médiocrité même, et c’est pourquoi ils ne posent guère de questions auxquelles nous ne puissions répondre sans maths. (Lire l’article)

Se tient à Paris en 1900 le deuxième congrès international des mathématiciens. L’Allemand David Hilbert, chef de file incontesté de l’approche axiomatique, y fait sensation en présentant une liste de vingt-trois problèmes ouverts dont la résolution, selon lui, marquera le XXe siècle naissant. À ce jour, onze ont été résolus. Le premier, appelé hypothèse du continu, ne le sera jamais. Une demi-douzaine d’autres sont considérés comme presque résolus. Cinq d‘entre eux résistent encore. (Lire l’article)

La philosophie et les maths – en premier lieu la logique, mais pas seulement – entretiennent depuis l’antiquité des rapports passionnels aigres-doux, forgés d’amour vache, d’attentes mutuelles souvent excessives et donc insatisfaites, et de communication plus ou moins efficiente. Le temps où le nombre, seule essence réellement immuable et divine, s’érigeait en système du monde est révolu. Un divorce donc ? Peut-être, mais il faut bien garder les enfants, dont il est pléthore. (Lire l’article)

Impossible de parler de logique sans consacrer une chronique à l’un des esprits les plus fins, les plus iconoclastes, les plus inventifs et drôles du vingtième siècle : Raymond Smullyan. Logicien, pianiste, adepte du Tao, magicien, grand vulgarisateur, il a inventé quelques perles de magie logique. Notamment Le Livre qui rend fou avec ses énigmes d’une implacable rigueur qui, conformément à son titre, peut  conduire aux confins de la folie, sans pour autant prendre les lecteurs de haut.  (Lire l’article)

Un bon nombre de règles semblent évidentes au-delà de tout doute raisonnable. Par exemple le fait qu’une affirmation ne peut pas être vraie et fausse en même temps. Certaines formes de logique regardent pourtant avec suspicion la fameuse preuve par l’absurde : pour prouver une propriété, je suppose sa négation, et j’en déduis une contradiction. Ma propriété, qui doit être vraie ou fausse, ne peut ainsi pas être fausse et elle est donc nécessairement vraie. Raisonnement inattaquable ? Oui, pour la majorité des mathématiciens ; mais il existe une forme de logique, dite intuitionniste, qui se refuse à un tel raisonnement. (Lire l’article)

Socrate est humain. Tous les humains sont mortels. Donc Socrate est mortel. Logique? Non, bon sens n’est pas logique.  L’évidence n’est pas plus une preuve en logique qu’elle n’en est une en droit ; il nous faut une règle. Voire plusieurs. Dans le cas de Socrate, on pourra faire appel à la règle d’élimination du quantificateur universel et au modus ponens avant de conclure que Socrate est mortel et qu’il peut donc en toute légalité prendre sa ciguë comme l’en ont aimablement prié les autorités. Tout ça pour ça me direz-vous. Sans doute. Mais ce formalisme, ce rigorisme, ce sens du détail, sont tout ce qui sépare les maths d’un vague agrégat de croyances et de raisonnements approximatifs. (Lire l’article)

Si vous êtes propriétaire d’une chaîne de magasins et que je vous demande combien vous possédez de boutiques à Paris et à Lyon, il y a bien des chances que vous me donniez le nombre global des boutiques que vous avez dans ces deux villes. Le logicien, lui, et dans certains cas la base de données informatique, vous répondra zéro sans la moindre hésitation. En effet un magasin peut être situé à Paris ou à Lyon, mais jamais les deux à la fois ; vous n’en avez donc aucun qui soit dans ces deux villes. Voici une première brèche au sens commun, et ce ne sera pas la seule… (Lire l’article)

Comment reconnaît-on un logicien ? C’est celui qui, quand on lui demande s’il prendra du fromage ou un dessert, répond oui. C’est aussi celui qui croit fermement – non, qui sait en toute certitude – que s’il gelait en enfer les poules auraient des dents. Car le logicien, ironiquement, parle une langue bien différente de la nôtre (et qu’il considère souvent comme seule langue des dieux), alors même que sa science a pour objet la description du monde et le raisonnement sur le monde par le langage, la parole : le logos. (Lire l’article)

À 22 heures d’avion de Paris, via Istanbul et Johannesburg, se trouve un petit royaume méconnu d’Afrique Australe, dont les un million deux-cent mille habitants – les Swazis – occupent un territoire grand comme deux fois la Corse, gouverné par un roi coutumier aux nombreuses femmes et aux multiples palais. Votre serviteur a eu la chance d’y passer quelques jours à initier des enfants des écoles et collèges locaux à la programmation informatique. Que faisions-nous là-bas ? Nous faisions bouger un chat… (Lire l’article)

Solution de la petite énigme posée la semaine dernière… Rappelons les faits : j’ai préparé un jeu de 52 cartes dont j’ai retourné un certain nombre face visible, avant de vous laisser mélanger le paquet. Après m’être bandé les yeux, j’ai alors pris une partie de ce paquet, je vous ai laissé compter – sans me le dire – le nombre de cartes face visible qu’il vous restait, je l’ai lu dans vos pensées, je vous ai tourné le dos et grâce à mes pouvoirs psychiques j’ai moi-même retourné dans mon paquet ce qu’il fallait de cartes pour avoir exactement le même nombre de cartes face visibles que vous. Comment ai-je fait ? (Lire l’article)

Vulgarisateur de génie, magicien, grand ennemi des charlatans, Martin Gardner était un explorateur passionné et passionnant du territoire mathématique. La preuve par trois de ses casse-têtes, l’hexaflexagone (qui rappelle les cocottes en papier de notre enfance), le jeu de la vie (à partir d’une grille et de pions qui prolifèrent ou disparaissent selon leur position), et un tour de cartes dont nous vous fournirons la solution la semaine prochaine. Qui a dit que les mathématiques n’étaient pas amusantes ? 
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Juste après avoir publié ma précédente chronique, je me suis précipité sur Internet pour vérifier si ma solution à l’énigme des cinq cartes tenait la route ou si j’avais négligé un détail. J’y ai découvert quelques faits intéressants. Tout d’abord la confirmation que cette solution fonctionne. Je n’ai pas trompé mes lecteurs, ouf ! Une autre observation faite à la lecture des forums spécialisés est qu’on y trouve beaucoup de solutions tentantes mais fausses, parfois de manière subtile, et qu’on observe une corrélation notable entre l’arrogance du commentateur et la qualité “presque juste mais pas tout-à-fait” de sa solution. (Lire l’article)

Un aspect de la culture geek d’Internet que l’on peut juger amusant ou effrayant est la manière dont ses membres se cooptent. S’il est un domaine où la sélection par les maths est reine, c’est celui-là. Google (comme d’autres) utilise régulièrement des techniques de recrutement du type jeu de piste : une énigme est posée à la communauté internet, et les quelques petits génies qui la résoudront en premier se verront envoyer un lien secret leur offrant la possibilité d’en résoudre d’autres, puis d’être recrutés. Voici une très jolie énigme posée régulièrement, paraît-il, en entretien d’embauche. (Lire l’article)

Bienvenue dans l’ensemble de Mandelbrot : notre regard s’y plonge en un zoom étourdissant, nous faisant découvrir une floraison infinie de détails, de variations, de figures biologiques cachées, d’amas galactiques infinitésimaux, d’efflorescences organiques… tous dissimulés dans la structure mathématique sous-jacente, toujours familiers, jamais monotones, toujours d’une délicatesse arachnéenne, et dont chacun est un monde infini à explorer… (Lire l’article)

Les concepts d’induction et de récursivité que nous avons explorés ces deux dernières semaines nous conduisent à un objet fascinant : la fractale. Ce joli mot, inventé dans les années 70 par le mathématicien franco-américain Benoît Mandelbrot, désigne une foisonnante classe d’objets mathématiques. De manière générale, un objet fractal présente une propriété d’auto-similarité : la partie ressemble au tout. Vue à différentes échelles, de très près ou de très loin, une fractale présente le même aspect général. La nature regorge de tels objets, du moins en approximation… (Lire l’article)

Avez-vous jamais remarqué comment, quand le programme informatique que vous utilisez rencontre une difficulté, il s’arrange le plus souvent pour suggérer que c’est de votre faute ? Il existe cependant des cas où le logiciel fautif se retrouve dans une situation telle qu’il doive abandonner toute ligne de défense de ce type, reconnaître son incapacité à continuer quoi que ce soit, et abandonner immédiatement la partie en faisant seppuku. C’est ce qui se passe quand ses instructions lui commandent de faire quelque chose d’impossible, par exemple de lire le contenu d’une case de mémoire qui n’existe pas.  Il se retrouve alors tellement mal en point qu’il ne peut même pas vous prévenir avant de s’arrêter. (Lire l’article)

L’histoire des cocus de Bagdad ne figure pas dans Les Mille et une nuits. Mais elle est un classique des problèmes de logique dont la solution repose sur un mode de raisonnement central dans les mathématiques, que l’on appelle raisonnement par récurrence ou, plus classieux, par induction. Sommés par le Vizir d’acquitter un impôt sur leur infortune conjugale, les cocus de Bagdad mettent quarante jours avant de se présenter au Palais. Combien y en a-t-il, et pourquoi ont-ils attendu si longtemps pour se manifester ? Sachant qu’à Bagdad comme ailleurs, si vous êtes cocu, tout le monde le sait sauf vous… (Lire l’article)

Les Jeux Olympiques avancent, et, du moins on peut l’espérer, les contrôles anti-dopage se multiplient dans l’espoir de faire oublier le “scandale russe” récemment révélé. Cependant, on ne peut pas tester tout le monde. Comment alors choisir au mieux les athlètes à contrôler ? Les maths peuvent y aider – en particulier une petite merveille appelée le théorème de Bayes, véritable couteau suisse à l’œuvre dans de multiples raisonnements, et outil intellectuel d’une profondeur philosophique abyssale. (Lire l’article)

La glorieuse incertitude du sport – voici, en cas de défaite, de quoi rasséréner les aficionados férus d’uchronie réparatrice. Ah, si les poteaux avaient été ronds et non carrés lors de la finale de la coupe d’Europe des clubs champions de 1976 opposant Saint-Etienne au Bayern de Münich ! Ah, si Zizou avait conservé son calme face à Materazzi en finale de Coupe du Monde ! D’accord on a perdu, mais dans ces univers parallèles-là, on a tout de même gagné ! Peut-on un peu mieux quantifier le rôle du hasard dans le sport ? Un champion l’est-il uniquement de par ses capacités propres ? Usain Bolt est indéniablement un phénomène. Pour autant, la chance joue-t-elle un rôle dans ses résultats ? Il n’est pas très difficile de s’en faire une idée… (Lire l’article)

Avec ou sans Russes, les Jeux Olympiques vont commencer et occuper les écrans pour deux semaines. Nous pouvons y trouver nous aussi notre moisson non de médailles mais de réflexions mathématiques, à commencer par celle-ci : l’athlétisme aux JO, c’est jusqu’à quand ? Car, s’il sera toujours possible en 2100 de jouer au foot et de gagner un match de boxe, d’autres disciplines pourraient bien se heurter à ce petit obstacle mathématique que l’on appelle une limite. Il y a ainsi grand risque que cette discipline reine qu’est le cent mètres masculin, un jour pas si éloigné que ça, perde tout intérêt – et ce même sans dopage. Tout d’abord, lors de chaque compétition à haut niveau règne l’espoir de voir tomber un record du monde. Mais que pouvons-nous en espérer, à Rio ou après ? (Lire l’article)

Plaisirs de farniente et de lecture… une fois n’est pas coutume, cette (courte) chronique offre quelques suggestions pour occuper votre esprit s’il en est besoin. D’abord, la toujours intéressante chronique de Jean-Paul Delahaye dans Pour la Science, intitulée Logique et Calcul. Au programme de ce mois de juillet, on trouve un problème dit “des 50 prisonniers”. Dans le même numéro de cet excellent magazine, une réflexion passionnante de Christian Walter sur la finance dite éthique, et en particulier sur le caractère performatif des algorithmes qu’elle utilise. Enfin, on pourra lire ou relire avec profit l’hilarante et autoproclamée unique trilogie en cinq volumes de Douglas Adams, Le Guide du Voyageur Galactique. (Lire l’article)

Ah, les plaisirs de la plage ! Vous étiez en train de jouer entre copains au beach volley quand la combinaison d’une passe puissante mais maladroite et d’une bourrasque soudaine fait voler le ballon dans l’eau, à quelque distance du rivage. L’émulation s’empare des deux équipes : celle qui récupèrera le ballon aura le prochain service, à moins d’ailleurs que la partie ne se transforme en match de water-polo. En tout cas c’est clair : il faut aller récupérer ce ballon avant les autres ! Les capitaines des deux équipes s’élancent. Alice, pour les Bleus, est fluette mais rapide à la course. Basile, pour les rouges, est lourd mais nage comme un dauphin.  Lequel des deux arrivera le premier au ballon ? (Lire l’article)

Si vous êtes comme moi, voici un jeu auquel vous n’avez guère joué depuis vos (très) jeunes années : le papier enveloppe la pierre ; la pierre casse les ciseaux ; les ciseaux coupent le papier. Je me suis amusé, il y a de nombreuses années de cela, à coder un programme d’ordinateur jouant à pierre-papier-ciseaux contre un humain. Sans tricher, ce programme en vint rapidement à battre son adversaire humain dans 70% des parties. Un programme fort simple, gagnant de manière statistiquement très significative contre son concepteur ! (Lire l’article)

Nous vous avons laissée la semaine dernière, le doigt sur votre téléphone, prête à appliquer la brillante stratégie aléatoire symétrique de votre invention qui ouvrira cette maudite route à vous comme à votre brillant collègue d’en face. Il ne vous reste qu’à choisir au hasard une heure dans les treize prochaines minutes et demie, puis à vous engager dans la chicane le moment venu ou si vous voyez l’autre véhicule en sortir. C’est alors que vous vient à l’esprit une nouvelle idée : votre stratégie n’est peut-être pas la meilleure possible pour minimiser votre temps moyen d’arrivée. Cette solution, contrairement à la précédente, ne vous garantit plus un temps de traversée maximal, mais elle abaisse d’une dizaine de secondes le temps moyen d’arrivée. (Lire l’article)

Par temps d’inondation, vous vous rendez à un congrès mathématique important et n’êtes pas en avance. Mais voilà : avec toutes ces routes barrées, le trajet habituel vers l’université est impraticable. Vous devez prendre les petites routes, et traverser une détestable portion encaissée de chemin communal à une voie, habituellement peu fréquentée car elle s’entortille en épingles à cheveux, sans dégagement ni visibilité, sur cinq cents mètres. Manque de chance, les feux qui régulent normalement la circulation alternée sont en panne ! Pour tout arranger, au moment où vous arrivez à l’entrée de cette chicane, vous distinguez de loin un véhicule qui arrive de l’autre côté et se prépare lui aussi à s’y engager. Vous-même vous arrêtez un instant pour réfléchir… (Lire l’article)

Bien des gens qui jetteront sans état d’âme un mégot sur un trottoir déjà jonché ne veulent pas être le premier à polluer une rue propre. Nous savons d’une certaine manière que nos actes individuels sont représentatifs du groupe auquel nous appartenons, et en prédisent donc en quelque sorte le comportement global, même sans qu’aucune causalité ne puisse être établie entre nos actions et celles des autres : beaucoup d’entre nous sont influencés par cette voix qui dit “si tout le monde faisait comme vous…” et agissent comme si le fait, par exemple, de remplir honnêtement sa déclaration d’impôts pouvait aussi encourager les autres à le faire. Ah, si seulement c’était le cas ! (Lire l’article)

Qu’y a-t-il de commun entre l’économie et un jeu tel que les échecs, le poker ou le go ? Dans tous les cas, un certain nombre d’acteurs – les joueurs ou les agents économiques – ont à leur disposition diverses options qui peuvent leur rapporter ou leur coûter une valeur – le gain de la partie ou un bénéfice financier. Les joueurs peuvent jouer ensemble ou l’un après l’autre ; ils peuvent partager la même information (comme aux échecs, où tout est sur la table), ou n’en connaître qu’une partie (comme au poker où chacun ne voit que son jeu) ; leurs intérêts peuvent être conflictuels (un seul gagnant) ou compatibles (commerce, économie collaborative) ; le gain peut être qualitatif (un titre de champion du monde) ou quantitatif (une plus-value). (Lire l’article)

Le désaccord est bien plus passionnant que le consensus quand il vous oppose à un esprit exigeant, ouvert et affuté. Mon interlocuteur, appelons-le Y., se présente comme libéral, au sens vrai et étymologique du terme : celui pour lequel la valeur de liberté est essentielle . Nous devisions santé. Y. m’expliquait qu’à son sens, il devrait – comme chacun d’entre nous – être libre de choisir entièrement son système de couverture santé, y compris la possibilité de n’en avoir aucun. Je me suis interrogé depuis sur ce que pourrait donner, traduite dans le réel, la proposition de Y. Peut-on, au moins en théorie, accommoder l’idéal de liberté avec celui de fraternité ? Et qu’en serait-il alors de notre troisième valeur, l’égalité ? (Lire l’article)

Le gouvernement a très récemment décidé d’opérer une coupe dans le budget de la recherche publique, pour un montant de 256 millions d’euros (faut-il voir dans cette puissance de 2 un hommage involontaire aux informaticiens ?). Or la recherche se mène sur le long terme, et tenter d’infléchir sa course trop brutalement peut faire caler le moteur. Une coupe d’apparence minime peut entraîner par effet domino des conséquences bien plus importantes : c’est ce que l’on appelle une non-linéarité. Si je retire la touche ‘D’ de votre clavier, il vous en restera une grosse centaine mais vous perdrez beaucoup en productivité. (Lire l’article)

Une réalité, même si elle peut s’expliquer mathématiquement, n’est pas justifiée politiquement ou moralement de ce fait. Est-il, par exemple, moralement juste ou socialement gérable qu’un 10m² se loue 450€ à Paris ? On est en droit de considérer que non, et ce même si ce prix est un prix d’équilibre sur un marché parfait. Comme l’explique André Comte-Sponville, subordonner la politique ou la morale à la technique, c’est une forme de confusion des ordres (qu’il appelle en l’occurrence de la barbarie). À l’inverse, nier les maths au nom de la morale serait une autre forme de confusion des ordres. (Lire l’article)

Les maths et l’économie ont une relation la fois très intime et très conflictuelle. Pourquoi donc ? Les maths échappent à l’exigence empirique dans la mesure où une théorie mathématique n’a de comptes à rendre qu’à elle-même. Ce qu’on lui demande ? D’être cohérente, c’est-à-dire de ne pas démontrer tout et son contraire ; et d’être la plus expressive et complète possible. À l’opposé du spectre, l’économie vise à étudier les règles (s’il en est) qui régissent les échanges entre individus, entre groupes sociaux, entre “acteurs” du marché. Il est difficile de trouver une discipline plus ancrée dans le réel. Force est pourtant de reconnaître qu’à première vue l’empirisme y bat souvent de l’aile. Est-ce donc à dire que les économistes sont des charlatans et les mathématiciens des solipsistes ? (Lire l’article)

Parmi les contributions de Condorcet aux mathématiques, il en est une d’actualité en cette période d’incertitude électorale : il fut le premier à constater l’impossibilité pour une société d’établir un classement cohérent entre plusieurs options – par exemple des candidats à la présidence – à partir des préférences individuelles de ses membres. Ce paradoxe n’est pas que théorique, puisque le scrutin uninominal majoritaire à deux tours peut en effet faire arriver en troisième position un candidat capable de battre en duel n’importe lequel des deux finalistes. Mais deux chercheurs de l’École Polytechnique ont proposé il y a quelques années un système dit du jugement majoritaire… (Lire l’article)

L’exponentielle, késaco ? Plus que le logarithme, dont elle est pourtant consubstantielle, l’exponentielle nous est familière au moins par l’expression consacrée croissance exponentielle. Ce terme, appliqué tout aussi bien à la population mondiale, à l’économie du loup ou dragon économique du moment ou à la puissance de calcul informatique qu’aux comptes Facebook ou Twitter, suscite autant l’admiration que l’effroi. On le retrouve ad nauseam, non sans raison parfois, mais bien souvent sans guère plus de réflexion. (Lire l’article)

Un voyage en Grèce est aussi une belle promenade en terroir linguistique. Un plaisir tout particulier est d’y demander l’addition – to logariasmó. Si nous pouvions payer des logarithmes plutôt que des additions, la vie serait bien douce, surtout aux beaux jours en terrasse. Le premier verre de blanc vous coûterait cinq euros  ; mais le suivant ne vous coûterait que 70 centimes de plus, et pour la même somme on vous en apporterait encore deux de plus. Le logarithme, en effet, est une incroyable petite machine à transformer les multiplications en additions. (Lire l’article)

Soit une entreprise où il apparaît qu’à fonction égale les femmes gagnent 5% de plus que les hommes. Le résultat d’une politique de discrimination positive ? Ou l’effet “plafond de verre”, qui veut qu’à compétence égale, les femmes seront promues moins souvent et plus tard que les hommes, et avanceront moins vite dans la hiérarchie ? La comparaison des salaires à l’intérieur d’un même grade, si elle est juste d’un point de vue comptable, est tout simplement trompeuse. (Lire l’article)

Arrêtons-nous un instant sur ces pourcentages “presque parfaits” dont publicitaires et lobbyistes nous farcissent la tête. Un filtre à air qui élimine 99,9% des bactéries, un hébergeur informatique qui vous assure un fonctionnement fiable à 99,5%, ça en jette ! Mais les pourcentages, quand ils sont proches de 100%, nous tendent un piège. Là où cela se complique encore, c’est quand ces pourcentages concernent des tests médicaux ou à usage légal. Les implications, dans de tel cas, sont très sérieuses. (Lire l’article)

Le pourcentage est un animal rétif, difficile à maîtriser et qui échappe facilement à notre intuition. Il en existe une variété particulièrement vicieuse, qui nourrit une industrie florissante dont le chiffre d’affaire annuel en France est à peu près égal au service de la dette publique ; elle justifie les atermoiements répétés concernant les mesures à prendre contre le réchauffement climatique ; elle explique que bon nombre de nos choix personnels ou collectifs se révèlent d’une irrationalité touchante (ou terrifiante). Je vous parle ici des probabilités, qui déterminent aussi bien les gains de la Française des Jeux et consorts que les estimations quant à l’accroissement de la température moyenne d’ici 2050. (Lire l’article)

La semaine dernière, nous avons identifié un mécanisme mental qui peut, même en toute bonne foi, transformer un quart en deux tiers, 25% en 67%, énorme erreur qui doit nous inciter à ne toucher aux pourcentages qu’avec des pincettes. Mais nous n’en avons pas fini avec cette histoire car nous devons maintenant nous colleter avec un autre mécanisme mental, tout aussi insidieux, et que nos politiques utilisent à qui mieux mieux. Pour en juger, je vous propose de nous exercer tout d’abord sur la théorie suivante : s’appeler Marcel porte malheur ; en effet les Marcel consomment deux fois plus que la moyenne nationale en frais de santé. (Lire l’article)

Les maths sont intimement liées à notre vie quotidienne, sociale, économique et citoyenne. La méconnaissance parfois clairement assumée, sinon même encouragée, de raisonnements mathématiques simples conduit nos décideurs et nous-mêmes à proférer et accepter de monumentales âneries qui peuvent provoquer beaucoup de dégâts. Les calculs, franchement, on s’en fiche : il y a des ordinateurs pour ça. Mais comprendre ce que les chiffres signifient, comment on les obtient, et quand les croire ou non, cela peut s’apprendre, assez simplement, et c’est indispensable si nous voulons conserver notre rôle de citoyen actif. (Lire l’article)

Nous avons découvert la semaine dernière l’arithmétique Shadok dans laquelle deux et deux font cinq (entre autres). Il y a de quoi être légitimement fier ; mais le travail n’est malheureusement pas fini. Car il se trouve que les mathématiciens sérieux, voyant venir le coup, ont adjoint aux nombres entiers naturels quelques axiomes supplémentaires et fort contrariants. Certes, aucune loi ne nous empêche d’ajouter des axiomes contradictoires à une théorie ; le problème, c’est que dans ce cas on peut prouver à peu près tout et son contraire, ce qui fait que la théorie ne nous sert strictement plus à rien. Voilà qui est fâcheux. (Lire l’article)

Vous êtes-vous jamais demandé ce qui se passerait si 2 et 2 faisaient 5 ? Peut-être avez-vous même osé poser la question à l’une ou l’autre autorité en la matière ? Auquel cas vous vous serez attiré au mieux un regard de commisération, au pire un soupir excédé ou une remarque sarcastique… Si vous vous reconnaissez dans cette histoire, souriez : votre revanche est proche ! Les maths sont un terrain de liberté dont les questions tracent les chemins ; et il n’y a pas de question stupide en la matière. Nous allons donc explorer celle-ci, qui en vaut bien d’autres, et vous en retirerez de quoi fissurer quelques certitudes. (Lire la suite)

La clientèle de l’hôtel Aleph est exigeante, et nulle considération absconse quant à la possibilité ou non de faire tenir des clubs dans des chambres ne saurait lui tenir lieu d’excuse valable. Pour résumer l’opinion générale : quand on veut on peut, et au prix où se paye la nuitée la direction ne devrait pas regarder à la dépense, ou bien on ira voir ailleurs. Comme l’un des résidents les plus vindicatifs ne se priva pas de le dire à Hilbert, “vous savez remplir ℵ₀ chambres d’un coup, nous pourrions bien vous montrer comment les vider tout aussi rapidement”. Bref, la crise. (Lire la suite)

Bien, nous avons donc une nouvelle sorte de nombre, appelés nombres réels à l’encontre du bon sens, et qui ne tient pas dans l’hôtel Aleph. Que ce soit un souci pour Hilbert et Russel, on le comprend, mais pourquoi devrions-nous nous sentir concernés? D’autant qu’après tout l’infini de l’hôtel Aleph, que l’on appelle l’infini dénombrable, contient tout de même une quantité proprement incroyable de choses. Que l’hôtel puisse toujours accueillir un client de plus ne paraît pas très surprenant : sinon on ne parlerait pas d’infini. (Lire la suite)

Hilbert n’avait jamais eu de problème jusque là pour libérer des chambres de l’hôtel Aleph à la demande, en nombre infini même si nécessaire ; et le voilà pourtant coincé sur une affaire qui ne paraît après tout pas plus monstrueusement déraisonnable, au point où nous en sommes, que les autres. Impossible de trouver une chambre pour chaque club de résidents ; on a beau pousser ou tirer : rien à faire, ça ne rentre pas. Que peut-il bien se passer ? Et tout d’abord, est-on bien sûr qu’il y a un problème ? (Lire la suite)

Un résident célèbre de l’hôtel Aleph est le grand mathématicien et philosophe britannique Bertrand Russel, troisième comte du nom – un nom qui compte. Avant de prendre ses quartiers à l’hôtel, Russel vécut parmi nous presqu’un siècle, de 1872 à 1970 – le temps pour lui, entre autres petites choses, de cofonder la logique mathématique moderne, de contribuer à la philosophie des sciences, de passer six mois en prison pour pacifisme, d’épouser quatre femmes et de remporter un prix  Nobel de littérature. Russel est le fondateur du Meta Club. (Lire la suite)

Nos rapports avec l’infini sont un peu ceux de saint Augustin avec le temps : nous savons ce que c’est jusqu’à ce qu’on nous le demande. Bienvenue dans l’hôtel Aleph, dirigé de main de maître par l’immense mathématicien David Hilbert. Cet hôtel luxueux possède ℵ0 chambres, et la qualité du service se traduit par un taux d’occupation record : il est toujours plein. L’arrivée d’un nouveau client n’est cependant pas un problème… (Lire la suite)

Nous en sommes restés à ces drôles de questions qui se posent quand on considère rien comme quelque chose… et en voici justement une qui se détache comme un agio sur un relevé bancaire : zéro moins dix, ça fait quoi ? La réponse est vieille comme le commerce, comme la dette ; mais c’est pourtant encore un nombre imaginaire, et comme tel magique et fertile en rêve. (Lire la suite)

Ainsi nous voilà, sédentaires et commerçants, avec ces systèmes de numération assez mal fichus qu’on passait des années à maîtriser, et qui donnaient donc un pouvoir exorbitant à la caste de ceux qui en connaissaient les secrets ; ça arrangeait bien les gens qui comptent, somme toute. On aurait donc pu en rester là. Seulement voilà, malgré la vigilance des académies il y a toujours quelque part un petit malin ou un emmerdeur patenté pour poser la question qui gêne. (Lire la suite)

Un oiseau, deux oiseaux… tous ces oiseaux ! La chasse sera bonne. Tout a commencé ainsi, et nous en sommes longtemps restés là. Que veut dire compter, quand chaque jour apporte ce qu’il faut de nourriture – ou pas ? Quand ni hier ni demain ne comptent, justement, et que vous ne trouverez plénitude ou famine que dans l’éternel aujourd’hui, sans devoir ni pouvoir thésauriser, sans chercher à prévoir l’imprévisible ? (Lire la suite)